ID: 00013360
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления.Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 13 часов. Ответ дайте в км/ч
Источник: ФИПИ
Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда по течению он идёт со скоростью $x+2$, против течения — $x-2$.
Время в пути складывается из дороги туда, стоянки и дороги обратно — всего $13$ часов, из них стоянка $4$ часа, значит на воду осталось $9$ часов:
$$\dfrac{80}{x+2}+\dfrac{80}{x-2}=9.$$
Умножим обе части на $(x+2)(x-2)=x^{2}-4$:
$$80(x-2)+80(x+2)=9(x^{2}-4).$$
Раскроем скобки и приведём подобные:
$$160x=9x^{2}-36\;\Rightarrow\;9x^{2}-160x-36=0.$$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$$D=160^{2}+4\cdot9\cdot36=25600+1296=26896=164^{2}.$$
$$x=\dfrac{160\pm164}{18}\;\Rightarrow\;x=18\;\text{или}\;x=-\dfrac{2}{9}.$$
Скорость не может быть отрицательной — отбрасываем посторонний корень. Проверим по смыслу: $\dfrac{80}{20}+\dfrac{80}{16}=4+5=9$ часов — сходится.