ID: 00013207
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
$$x^{2}+a^{2}+7x-23a=|23x+7a|$$
имеет больше двух различных корней.
Источник: ФИПИ
Снова уравнение с модулем: $x^2+a^2+7x-23a=|23x+7a|$. Цель — больше двух корней.
Раскрываем модуль по знаку $23x+7a$: при «плюсе» $x^2-16x+(a^2-30a)=0$, при «минусе» $x^2+30x+(a^2-16a)=0$.
Оставляем только корни, согласованные со знаком (корень первого уравнения требует $23x+7a\ge0$, второго — $23x+7a\lt 0$).
«Больше двух» (3 или 4 корня) набирается, когда оба уравнения дают по два подходящих корня. Исследуя дискриминанты и знаки, получаем два отрезка.
$[-2;\,0]\cup[23;\,25]$