Задание 19 ЕГЭ по математике №00013189

Что дано: восемь критиков поставили различные целые оценки от $0$ до $12$. Старый рейтинг — среднее всех восьми оценок, новый — среднее шести оставшихся (выбросили самую маленькую $m$ и самую большую $M$). Обозначим сумму всех восьми через $\Sigma$.

Запишем разность рейтингов и упростим: $\dfrac{\Sigma}{8}-\dfrac{\Sigma-m-M}{6}$. Приведём к знаменателю $24$: $\dfrac{3\Sigma-4(\Sigma-m-M)}{24}=\dfrac{4(m+M)-\Sigma}{24}$. Сверху стоит целое число — это пригодится.

Пункт а). Может ли разность быть $\dfrac{1}{20}$? Тогда $\dfrac{4(m+M)-\Sigma}{24}=\dfrac{1}{20}$, откуда $4(m+M)-\Sigma=\dfrac{24}{20}=\dfrac65$ — не целое. А слева целое. Противоречие — значит нет.

Пункт б). Может ли разность быть $\dfrac{1}{24}$? Тогда $4(m+M)-\Sigma=1$. Возьмём $m=0$, $M=12$: $48-\Sigma=1$, то есть $\Sigma=47$, и сумма шести «средних» оценок равна $47-0-12=35$. Шесть различных чисел из $1,\dots,11$ с суммой $35$ найдутся, например $1,4,6,7,8,9$. Тогда оценки $0,1,4,6,7,8,9,12$ дают нужную разность. Значит — да.

Пункт в). Максимизируем разность. Перепишем числитель: $4(m+M)-\Sigma=3(m+M)-\Sigma_6$, где $\Sigma_6$ — сумма шести средних оценок. Чтобы было побольше, берём $m+M$ наибольшим ($m=0$, $M=12$) и $\Sigma_6$ наименьшим — шесть различных оценок строго между $0$ и $12$ дают минимум $1+2+3+4+5+6=21$. Получаем $\dfrac{3\cdot 12-21}{24}=\dfrac{15}{24}=\dfrac58$. Наибольшая разность — $\dfrac58$.