Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00013163

Всюду прячется $\log_3 x$. Заменим его буквой $u$ — и первая дробь неожиданно красиво схлопнется.

Область определения: $x\gt 0$; знаменатели не нули: $1-\log_3^{2}(3x)\ne 0$ (то есть $x\ne 1$, $x\ne\tfrac19$) и $\log_3 x\ne 0$ ($x\ne 1$).

Обозначим $u=\log_3 x$. Тогда $\log_3(9x)=2+u$, а $1-\log_3^{2}(3x)=1-(1+u)^{2}=-u(u+2)$. Посмотрим на первую дробь:

$$\dfrac{2+u}{-u(u+2)}=\dfrac{u+2}{-u(u+2)}=-\dfrac{1}{u}.$$

Множитель $u+2$ сократился! Тогда всё неравенство превращается в $-\dfrac1u-\dfrac1u\geqslant 0$, то есть:

$$-\dfrac{2}{u}\geqslant 0,\qquad \dfrac{1}{u}\leqslant 0.$$

Дробь $\dfrac1u$ не больше нуля, когда $u\lt 0$, то есть $\log_3 x\lt 0$, значит $0\lt x\lt 1$. Осталось выколоть из этого точку $x=\dfrac19$ (она вне ОДЗ). Итог: $\left(0;\dfrac19\right)\cup\left(\dfrac19;1\right)$.