Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00013155

Запишем функцию со степенью: $y=3+3x-x\sqrt{x}=3+3x-x^{3/2}$.

Продифференцируем:

$$y'=3-\dfrac{3}{2}\sqrt{x}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$3=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}\;\Rightarrow\;\sqrt{x}=2\;\Rightarrow\;x=4.$$

Точка $x=4$ лежит внутри отрезка $[2;8]$. При $x<4$ производная положительна (функция растёт), при $x>4$ — отрицательна (убывает), значит $x=4$ — точка максимума, и наибольшее значение достигается именно в ней.

Посчитаем значение функции:

$$y(4)=3+3\cdot4-4\sqrt{4}=3+12-8=7.$$