ID: 00013155
Найдите наибольшее значение функции y = 3 + 3x− x $\sqrt{x}$ на отрезке [2; 8].
Источник: ФИПИ
Запишем функцию со степенью: $y=3+3x-x\sqrt{x}=3+3x-x^{3/2}$.
Продифференцируем:
$$y'=3-\dfrac{3}{2}\sqrt{x}.$$
Приравняем производную к нулю:
$$3=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}\;\Rightarrow\;\sqrt{x}=2\;\Rightarrow\;x=4.$$
Точка $x=4$ лежит внутри отрезка $[2;8]$. При $x<4$ производная положительна (функция растёт), при $x>4$ — отрицательна (убывает), значит $x=4$ — точка максимума, и наибольшее значение достигается именно в ней.
Посчитаем значение функции:
$$y(4)=3+3\cdot4-4\sqrt{4}=3+12-8=7.$$