ID: 00013119
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\big(|x-a^{2}|+|x+2|\big)^{2}-11\big(|x-a^{2}|+|x+2|\big)+2a^{2}+24=0
имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Обозначим E=|x-a^2|+|x+2|. Это сумма расстояний от точки x до двух точек: a^2 и -2. У такой суммы есть наименьшее значение — оно равно расстоянию между точками, то есть E_{\min}=a^2+2 (достигается, когда x между ними). Цель — ровно два корня.
Уравнение становится квадратным относительно E:
E^2-11E+(2a^2+24)=0\ \Rightarrow\ E=\dfrac{11\pm\sqrt{25-8a^2}}{2}\quad(\text{веществ. при }|a|\le\tfrac{5\sqrt2}{4}).
Ключ — сколько x даёт каждое значение E=c: если c\gt E_{\min}, то ДВА решения (точка x может быть слева и справа); если c=E_{\min} — одно; если c\lt E_{\min} — ни одного.
Считаем вклад обоих значений E. Получается: ровно два решения, когда a^2\in(2;3) — то есть a\in(-\sqrt3;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt3).
Плюс особый случай: при a=\pm\dfrac{5\sqrt2}{4} оба значения E сливаются в одно (под корнем нуль), и это одно значение даёт ровно два x. Эти точки тоже входят в ответ.
Ответ: (-\sqrt3;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt3)\cup\left\{\pm\dfrac{5\sqrt2}{4}\right\}.
(-\sqrt3;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt3)\cup\left\{\pm\dfrac{5\sqrt2}{4}\right\}