Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00013119

Обозначим $E=|x-a^2|+|x+2|$. Это сумма расстояний от точки $x$ до двух точек: $a^2$ и $-2$. У такой суммы есть наименьшее значение — оно равно расстоянию между точками, то есть $E_{\min}=a^2+2$ (достигается, когда $x$ между ними). Цель — ровно два корня.

Уравнение становится квадратным относительно $E$:

$$E^2-11E+(2a^2+24)=0\ \Rightarrow\ E=\dfrac{11\pm\sqrt{25-8a^2}}{2}\quad(\text{веществ. при }|a|\le\tfrac{5\sqrt2}{4}).$$

Ключ — сколько $x$ даёт каждое значение $E=c$: если $c\gt E_{\min}$, то ДВА решения (точка $x$ может быть слева и справа); если $c=E_{\min}$ — одно; если $c\lt E_{\min}$ — ни одного.

Считаем вклад обоих значений $E$. Получается: ровно два решения, когда $a^2\in(2;3)$ — то есть $a\in(-\sqrt3;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt3)$.

Плюс особый случай: при $a=\pm\dfrac{5\sqrt2}{4}$ оба значения $E$ сливаются в одно (под корнем нуль), и это одно значение даёт ровно два $x$. Эти точки тоже входят в ответ.