Здесь повторяется выражение x+\dfrac4x. Обозначим его t=x+\dfrac4x. По неравенству о средних: для x\gt 0 имеем t\ge4, для x\lt 0 — t\le-4. Поэтому каждому значению |t|\gt 4 отвечают ДВА значения x, а |t|=4 — одно. Цель — ровно два корня по x.

a\,t^2+2t-25a+10=0\quad(\text{относительно }t).

Сначала особый случай a=0: уравнение становится 2t+10=0, то есть t=-5. Так как |-5|\gt 4, это даёт два корня x — значит a=0 подходит.

При a\ne0 это квадратное уравнение по t. Разбираем его дискриминант и положение корней относительно «запретной зоны» -4\lt t\lt 4 (туда t попасть не может). Каждый допустимый корень t с |t|\gt 4 даёт два x, с |t|=4 — один.

Подсчёт показывает: ровно два корня по x — при a=0, a=\dfrac15 и на интервале \left(\dfrac29;2\right).

Ответ: \left\{0;\dfrac15\right\}\cup\left(\dfrac29;2\right).