ID: 00013080
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания ABCD. Точка N делит ребро SD в отношении SN : ND = 2 : 3. Плоскость α, проходящая через точки O и N и параллельная ребру SA, пересекает ребро SC в точке M. Известно, что SA = AB = 10.
а) Докажите, что точка M - середина SC.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость α пересечёт грань BSC.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём точку $O$ — центр основания. Плоскость $\alpha$ проходит через $O$ параллельно $SA$, поэтому она пересекает плоскость $SAC$ по прямой, параллельной $SA$ и проходящей через $O$ — это средняя линия треугольника $SAC$.
Значит $\alpha$ пересекает $SC$ в его середине $M$ (так как $O$ — середина $AC$, прямая через $O$, параллельная $SA$, делит $SC$ пополам). Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты: $O=(0;0;0)$, основание — квадрат со стороной $a=10$, $S=(0;0;7.071)$ (высоту $H$ $=5\sqrt2$).
Точка $N$ на $SD$ с $SN:ND=2:3$ и середина $M$ ребра $SC$ задают плоскость $\alpha\parallel SA$.
Длина отрезка, по которому $\alpha$ пересекает грань $BSC$, равна $\sqrt{21}$ (находим как хорду сечения в этой грани).
$\sqrt{21}$