ID: 00013080
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания ABCD. Точка N делит ребро SD в отношении SN : ND = 2 : 3. Плоскость α, проходящая через точки O и N и параллельная ребру SA, пересекает ребро SC в точке M. Известно, что SA = AB = 10.
а) Докажите, что точка M - середина SC.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость α пересечёт грань BSC.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём точку O — центр основания. Плоскость \alpha проходит через O параллельно SA, поэтому она пересекает плоскость SAC по прямой, параллельной SA и проходящей через O — это средняя линия треугольника SAC.
Значит \alpha пересекает SC в его середине M (так как O — середина AC, прямая через O, параллельная SA, делит SC пополам). Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты: O=(0;0;0), основание — квадрат со стороной a=10, S=(0;0;7.071) (высоту H =5\sqrt2).
Точка N на SD с SN:ND=2:3 и середина M ребра SC задают плоскость \alpha\parallel SA.
Длина отрезка, по которому \alpha пересекает грань BSC, равна \sqrt{21} (находим как хорду сечения в этой грани).
Ответ: \sqrt{21}.
\sqrt{21}