ID: 00013077
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O - центр основания пирамиды, точка M - середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK : KC = 3 : 1, а AB = 2 и SO = $\sqrt{7}$ .
а) Докажите, что плоскость (OMK) параллельна прямой SA.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость (OMK) пересечёт грань SAD.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Плоскость $\alpha$ проходит через $O$, середину $M$ ребра $SC$ и точку $K$ на $BC$. Так как $OM$ — средняя линия треугольника $SAC$ ($O$ середина $AC$, $M$ середина $SC$), то $OM\parallel SA$.
Значит вся плоскость $\alpha=(OMK)$ параллельна прямой $SA$. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Координаты: $O=(0;0;0)$, сторона основания $a=2$, $S=(0;0;2.646)$ (None). $M$ — середина $SC$, $K$ на $BC$ с $BK:KC=3:1$.
Плоскость $(OMK)$ пересекает грань $SAD$ по отрезку длины $\dfrac{9}{4}$.