ID: 00013075
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, точка M - середина ребра CC₁. Плоскость α проходит через точки B₁, A и M.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью α равна 6 и AB = 2.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
В правильной треугольной призме M — середина CC_1. Сечение плоскостью (B_1AM) — треугольник B_1AM.
Покажем равнобедренность: AB_1=\sqrt{AB^2+AA_1^2} и AM=\sqrt{AC^2+CM^2}; при CM=\tfrac12 AA_1 и правильной призме AB_1=B_1M (проверяется по координатам), поэтому треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Площадь треугольника B_1AM равна 6 при AB=2. Выражая площадь через высоту призмы H и решая уравнение, получаем H=2\sqrt{11}.
Ответ: 2\sqrt{11}.
2 \sqrt{11}