Задание 15 ЕГЭ по математике №00013075

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения призм

№2. Задание 15

ID: 00013075

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, точка M - середина ребра CC₁. Плоскость α проходит через точки B₁, A и M.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью α равна 6 и AB = 2.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

В правильной треугольной призме $$M$$ — середина $$CC_1$$ . Сечение плоскостью $$(B_1AM)$$ — треугольник $$B_1AM$$ .

Покажем равнобедренность: $AB_1=\sqrt{AB^2+AA_1^2}$ и $AM=\sqrt{AC^2+CM^2}$ ; при $CM=\tfrac12 AA_1$ и правильной призме $$AB_1=B_1M$$ (проверяется по координатам), поэтому треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Площадь треугольника $$B_1AM$$ равна $$6$$ при $$AB=2$$ . Выражая площадь через высоту призмы $$H$$ и решая уравнение, получаем $H=2\sqrt{11}$ .

Ответ

2 $\sqrt{11}$

Другие задания по теме «Сечения призм» (8)