ID: 00013054
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 200 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите 𝑟, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 130 000 рублей, а во второй год — 150 000 рублей.
Источник: ФИПИ
Кредит гасится за два года, но платежи разные. Запишем, как меняется долг, и из условия полного погашения найдём ставку.
Сумма кредита $S=200 000$ руб. Каждый январь долг умножается на $q=1+\tfrac{r}{100}$. После первого года и платежа 130 000 руб. долг равен $200 000q-130 000$, а после второго года и платежа 150 000 руб. он обнуляется:
$$\bigl(200 000q-130 000\bigr)q-150 000=0\ \Rightarrow\ 200 000q^2-130 000q-150 000=0.$$
Это квадратное уравнение относительно $q$. Решая его и оставляя корень $q\gt 1$, получаем $q=1{,}25$, то есть $r=25$.
Типичная ошибка — забыть, что проценты второго года начисляются на остаток после первого платежа, а не на исходную сумму.