ID: 00013052
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Источник: ФИПИ
В этой задаче кредит гасится равными ежегодными платежами, поэтому удобно работать с формулой суммы геометрической прогрессии.
Каждый январь долг увеличивается на 10 %, то есть умножается на $q=1{,}1$, а затем вносится один и тот же платёж $X$. Всего таких платежей 3, после последнего долг равен нулю.
Записав, что после каждого платежа от долга остаётся «прошлый долг $\times q$ минус $X$», и собрав все шаги вместе, получаем равенство для суммы кредита $S$:
$$S\cdot q^{3}=X\left(q^{2}+q^{1}+\dots+q+1\right)=X\cdot\dfrac{q^{3}-1}{q-1}.$$
По условию переплата (то, что выплачено сверх взятого) равна 40 980 рублей, то есть $3X-S=40 980$. Подставив сюда выражение для $S$ через $X$, получаем одно уравнение с одним неизвестным.
$$3X-X\cdot\dfrac{q^{3}-1}{(q-1)\,q^{3}}=40 980.$$
Решив его, находим платёж $X=79 860$ рублей, после чего планируется взять 198 600 рублей.
Полезно проверить себя: подставьте найденную сумму обратно и 3 раз выполните «умножение на $q$ и вычитание платежа» — долг должен обнулиться ровно после последнего года. Типичная ошибка — забыть, что проценты начисляются на остаток долга, а не на исходную сумму.