Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00013048

В этой задаче кредит гасится равными ежегодными платежами, поэтому удобно работать с формулой суммы геометрической прогрессии.

Каждый январь долг увеличивается на 20 %, то есть умножается на $q=1{,}2$, а затем вносится один и тот же платёж $X$. Всего таких платежей 4, после последнего долг равен нулю.

Записав, что после каждого платежа от долга остаётся «прошлый долг $\times q$ минус $X$», и собрав все шаги вместе, получаем равенство для суммы кредита $S$:

$$S\cdot q^{4}=X\left(q^{3}+q^{2}+\dots+q+1\right)=X\cdot\dfrac{q^{4}-1}{q-1}.$$

Здесь известна сама сумма кредита $S=419 375$ рублей, поэтому из равенства находим один платёж $X$, а затем умножаем его на 4.

Отсюда $S=X\cdot\dfrac{q^{4}-1}{(q-1)\,q^{4}}$. Подставляя $q=1{,}2$ и считая по действиям, получаем, что общая сумма платежей составит 648 000 рублей.

Полезно проверить себя: подставьте найденную сумму обратно и 4 раз выполните «умножение на $q$ и вычитание платежа» — долг должен обнулиться ровно после последнего года. Типичная ошибка — забыть, что проценты начисляются на остаток долга, а не на исходную сумму.