ID: 00013048
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419 375 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей составит общая сумма платежей, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Источник: ФИПИ
В этой задаче кредит гасится равными ежегодными платежами, поэтому удобно работать с формулой суммы геометрической прогрессии.
Каждый январь долг увеличивается на 20 %, то есть умножается на $q=1{,}2$, а затем вносится один и тот же платёж $X$. Всего таких платежей 4, после последнего долг равен нулю.
Записав, что после каждого платежа от долга остаётся «прошлый долг $\times q$ минус $X$», и собрав все шаги вместе, получаем равенство для суммы кредита $S$:
$$S\cdot q^{4}=X\left(q^{3}+q^{2}+\dots+q+1\right)=X\cdot\dfrac{q^{4}-1}{q-1}.$$
Здесь известна сама сумма кредита $S=419 375$ рублей, поэтому из равенства находим один платёж $X$, а затем умножаем его на 4.
Отсюда $S=X\cdot\dfrac{q^{4}-1}{(q-1)\,q^{4}}$. Подставляя $q=1{,}2$ и считая по действиям, получаем, что общая сумма платежей составит 648 000 рублей.
Полезно проверить себя: подставьте найденную сумму обратно и 4 раз выполните «умножение на $q$ и вычитание платежа» — долг должен обнулиться ровно после последнего года. Типичная ошибка — забыть, что проценты начисляются на остаток долга, а не на исходную сумму.