ID: 00013046
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2030 года долг должен составить 600 тыс. рублей;
- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2360 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Источник: ФИПИ
Долг гасится двумя «дифференцированными» этапами: сначала пять лет он убывает равными ступенями до некоторой середины, затем ещё пять лет — другими равными ступенями до нуля.
Обозначим долг (в тыс. руб.) на июль 2030 года через $M$. Тогда первые пять лет долг убывает по $\tfrac{S-M}{5}$, а вторые пять лет — по $\tfrac{M}{5}$ за год.
Каждый годовой платёж — это «проценты на долг прошлого года плюс ступень погашения». Сложив все десять платежей, замечаем: все ступени вместе дают весь кредит $S$, а сумма процентов равна ставке, умноженной на сумму всех долгов по годам. Это приводит к компактной формуле:
$$\text{сумма выплат}=S+x\,(3S+5M),\qquad x=0{,}2.$$
Здесь $M=600$ (тыс. руб.), ставка 20 %, сумма выплат 2 360. Выражаем $S=\dfrac{\text{сумма}-5xM}{1+3x}$ и получаем $S=1 100$ тыс. руб.
Планируется взять 1 100 тыс. рублей (то есть 1 100 000 руб.).
Типичная ошибка — перепутать число ступеней (их по пять в каждой половине, а лет всего десять) или начислить проценты на исходную, а не на текущую величину долга.