ID: 00013040
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата
таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?
Источник: ФИПИ
Обозначим $S$ тысяч рублей — сумма кредита. По условию долг на 15-е число каждого месяца уменьшается ровно на $80$ тысяч, поэтому после $k$-го платежа долг равен $S-80k$.
Распишем выплату $k$-го месяца ($k=1,\dots,10$): сначала долг $S-80(k-1)$ вырастает на $3\%$, потом платёж возвращает его к $S-80k$:
$$\text{платёж}_k=1{,}03\,(S-80(k-1))-(S-80k)=0{,}03S-2{,}4k+82{,}4.$$
Сложим платежи за первые $10$ месяцев (сумма $k$ от $1$ до $10$ равна $55$):
$$\sum_{k=1}^{10}=0{,}3S-2{,}4\cdot55+824=0{,}3S+692.$$
В $11$-м месяце остаток $S-800$ вырастает на $3\%$ и гасится целиком:
$$\text{платёж}_{11}=1{,}03\,(S-800)=1{,}03S-824.$$
Общая сумма выплат по условию равна $1198$ тысяч:
$$0{,}3S+692+1{,}03S-824=1198\;\Rightarrow\;1{,}33S=1330\;\Rightarrow\;S=1000.$$
Долг на 15-е число 10-го месяца — это $S-80\cdot10$:
$$1000-800=200\text{ тыс рублей}=200\,000\text{ рублей}.$$