ID: 00013035
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку 𝑟, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.
Источник: ФИПИ
Долг уменьшается равными ступенями до нуля за все годы, значит последний (самый маленький) платёж определяется только последней ступенькой долга.
Кредит S=7 млн руб. на 10 лет: долг на июль убывает на d=\dfrac{7}{10}=0{,}7 млн руб. в год, и предпоследний долг равен как раз d=0{,}7 млн руб.
Последний платёж — это предпоследний долг, выросший на r\,\% (то есть умноженный на q=1+\tfrac{r}{100}), потому что после него долг становится нулевым:
\text{последний платёж}=d\cdot q=0{,}7\left(1+\tfrac{r}{100}\right).
По условию он не меньше 0,819 млн руб. Решаем неравенство 0{,}7\left(1+\tfrac{r}{100}\right)\ge 0{,}819 и находим 1+\tfrac{r}{100}\ge 1{,}17, то есть r\ge 17.
Наименьшее подходящее значение ставки равно 17. Типичная ошибка — взять не последний, а первый платёж: первый платёж самый большой, а здесь ограничение наложено именно на самый маленький, последний.