Задание 20 ЕГЭ по математике №00011614

Что дано: три различных числа. Первое — $A$, второе $B$ равно сумме цифр $A$, третье $C$ равно сумме цифр $B$.

Пункт а). Может ли $A+B+C=3456$? Возьмём $A=3441$: сумма цифр $B=3+4+4+1=12$, затем $C=1+2=3$. Числа $3441,12,3$ различны, и $3441+12+3=3456$. Значит — да.

Пункт б). Может ли $A+B+C=2345$? Вспомним: число и сумма его цифр дают одинаковый остаток по модулю $9$. Значит $A\equiv B\equiv C\pmod 9$, и тогда $A+B+C\equiv 3A\pmod 9$ — то есть сумма по модулю $9$ может давать только остатки $0,3,6$ (числа, кратные $3$). А $2345$ даёт остаток $5$ ($2+3+4+5=14\to 5$). Не совпадает — значит нет.

Пункт в). Пусть $A$ трёхзначно, а $C=5$. Тогда $5$ — это сумма цифр числа $B$. Само $B$ — сумма цифр трёхзначного $A$, поэтому $1\leqslant B\leqslant 27$. Среди таких $B$ сумму цифр $5$ имеют только $B=5$, $14$, $23$.

Вариант $B=5$ не годится: тогда $B=C=5$, а числа должны быть различны. Остаются $B=14$ и $B=23$ — то есть сумма цифр $A$ равна $14$ или $23$. Трёхзначных чисел с суммой цифр $14$ ровно $70$, с суммой цифр $23$ — ровно $15$. Всего $70+15=85$ троек. Ответ — 85.