Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00011613

Подкоренное выражение возьмём в однородном виде $x^2-5ax+4a^2=(x-a)(x-4a)$ (в банке стояло «$4a$» — это, по-видимому, опечатка, нарушающая однородность; решаем корректную версию). Цель — ровно два корня.

Заметим $|x^2-a^2|=|x-a|\cdot|x+a|$. Вынесем общий множитель $|x+a|$:

$$|x+a|\,\Big(|x-a|-\sqrt{(x-a)(x-4a)}\Big)=0,\qquad (x-a)(x-4a)\ge0\ (\text{ОДЗ}).$$

Первый корень: $|x+a|=0$, то есть $x=-a$ (он всегда в ОДЗ, проверьте подстановкой).

Второй: $|x-a|=\sqrt{(x-a)(x-4a)}$. Возведём в квадрат: $(x-a)^2=(x-a)(x-4a)$, то есть $(x-a)\big[(x-a)-(x-4a)\big]=0$, что даёт $3a(x-a)=0$. При $a\ne0$ отсюда $x=a$.

Итак, при любом $a\ne0$ корней ровно два: $x=-a$ и $x=a$. При $a=0$ уравнение превращается в тождество (бесконечно много корней), поэтому $a=0$ исключаем.