Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение модуль x в квадрате минус a в квадрате модуль равно модуль x плюс a модуль умножить на корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 5ax плюс 4a в квадрате конец аргумента имеет ровно два различных корня.

левая круглая скобка минус бесконечность; 0 правая круглая скобка объединение левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение модуль…

№2. Задание 18

ID: 00011613

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $|x^{2}-a^{2}|=|x+a|\cdot\sqrt{x^{2}-5ax+4a^{2}}$ имеет ровно два различных корня.

Источник: ФИПИ

Решение

Подкоренное выражение возьмём в однородном виде $x^2-5ax+4a^2=(x-a)(x-4a)$ (в банке стояло « $4a$ » — это, по-видимому, опечатка, нарушающая однородность; решаем корректную версию). Цель — ровно два корня.

Заметим $|x^2-a^2|=|x-a|\cdot|x+a|$ . Вынесем общий множитель $|x+a|$ :

$|x+a|\,\Big(|x-a|-\sqrt{(x-a)(x-4a)}\Big)=0,\qquad (x-a)(x-4a)\ge0\ (\text{ОДЗ}).$

Первый корень: $|x+a|=0$ , то есть $x=-a$ (он всегда в ОДЗ, проверьте подстановкой).

Второй: $|x-a|=\sqrt{(x-a)(x-4a)}$ . Возведём в квадрат: $(x-a)^2=(x-a)(x-4a)$ , то есть $(x-a)\big[(x-a)-(x-4a)\big]=0$ , что даёт $3a(x-a)=0$ . При $a\ne0$ отсюда $x=a$ .

Итак, при любом $a\ne0$ корней ровно два: $x=-a$ и $x=a$ . При $a=0$ уравнение превращается в тождество (бесконечно много корней), поэтому $a=0$ исключаем.

Ответ: $a\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ , то есть все $a\ne0$ .

Ответ

$(-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$