Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00011610

Здесь степени двойки-пятёрки, но всё держится на $5^{x}$. Заменим его буквой $t$ — и неравенство станет многочленом, который раскладывается на множители.

Пусть $t=5^{x}$, $t\gt 0$. Тогда $25^{x}=(5^{x})^{2}=t^{2}$. Неравенство $\big(t^{2}-4t\big)^{2}+8t\lt 2t^{2}+15$ после раскрытия скобок и переноса всего влево принимает вид:

$$t^{4}-8t^{3}+14t^{2}+8t-15\lt 0.$$

Подберём целые корни (делители $15$): подходят $t=-1,1,3,5$. Значит многочлен раскладывается:

$$(t+1)(t-1)(t-3)(t-5)\lt 0.$$

Так как $t=5^{x}\gt 0$, множитель $t+1\gt 0$ — на него можно поделить, знак не меняется. Остаётся $(t-1)(t-3)(t-5)\lt 0$. Методом интервалов: $0\lt t\lt 1$ или $3\lt t\lt 5$.

Возвращаемся к $x$: $5^{x}\lt 1$ даёт $x\lt 0$; $3\lt 5^{x}\lt 5$ даёт $\log_5 3\lt x\lt 1$. Итог: $(-\infty;0)\cup(\log_5 3;1)$.