Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00011608

Пункт а. Приведение $\cos(\pi-x)=-\cos x$ (значит $\cos^3(\pi-x)=-\cos^3 x$) и $\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x$:

$$-2\cos^3 x=-\cos x\;\Rightarrow\;2\cos^3 x-\cos x=0$$

Вынесем $\cos x$:

$$\cos x\,(2\cos^2 x-1)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos^2 x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{9 \pi}{2};\,\frac{11 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{9 \pi}{2};\,\frac{11 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{9 \pi}{2}, \frac{19 \pi}{4}, \frac{21 \pi}{4}, \frac{11 \pi}{2}$$