ID: 00011608
а) Решите уравнение 2cos^3(\pi-x)=sin(\frac{3\pi}{2}+x)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\frac{9\pi}{2};\frac{11\pi}{2}]
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение \cos(\pi-x)=-\cos x (значит \cos^3(\pi-x)=-\cos^3 x) и \sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x:
-2\cos^3 x=-\cos x\;\Rightarrow\;2\cos^3 x-\cos x=0
Вынесем \cos x:
\cos x\,(2\cos^2 x-1)=0
Выпишем все серии корней:
\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\cos^2 x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[\frac{9 \pi}{2};\,\frac{11 \pi}{2}\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[\frac{9 \pi}{2};\,\frac{11 \pi}{2}\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
\frac{9 \pi}{2}, \frac{19 \pi}{4}, \frac{21 \pi}{4}, \frac{11 \pi}{2}
а) x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}
б) \frac{9 \pi}{2}, \frac{19 \pi}{4}, \frac{21 \pi}{4}, \frac{11 \pi}{2}