Запишем функцию со степенью: y=\dfrac{4}{3}x\sqrt{x}-5x+4=\dfrac{4}{3}x^{3/2}-5x+4 (определена при x\geq0).

Продифференцируем:

y'=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{3}{2}\sqrt{x}-5=2\sqrt{x}-5.

Приравняем производную к нулю:

2\sqrt{x}=5\;\Rightarrow\;\sqrt{x}=2{,}5\;\Rightarrow\;x=6{,}25.

При x<6{,}25 производная отрицательна (функция убывает), при x>6{,}25 — положительна (растёт).

Знак меняется с минуса на плюс — это точка минимума.

x_{\min}=6{,}25.