Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00011607

Запишем функцию со степенью: $y=\dfrac{4}{3}x\sqrt{x}-5x+4=\dfrac{4}{3}x^{3/2}-5x+4$ (определена при $x\geq0$).

Продифференцируем:

$$y'=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{3}{2}\sqrt{x}-5=2\sqrt{x}-5.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2\sqrt{x}=5\;\Rightarrow\;\sqrt{x}=2{,}5\;\Rightarrow\;x=6{,}25.$$

При $x<6{,}25$ производная отрицательна (функция убывает), при $x>6{,}25$ — положительна (растёт).

Знак меняется с минуса на плюс — это точка минимума.

$$x_{\min}=6{,}25.$$