ID: 00011607
Найдите точку минимума функции $y = \frac{4}{3}x\sqrt{x} - 5x+4$
Источник: ФИПИ
Запишем функцию со степенью: $y=\dfrac{4}{3}x\sqrt{x}-5x+4=\dfrac{4}{3}x^{3/2}-5x+4$ (определена при $x\geq0$).
Продифференцируем:
$$y'=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{3}{2}\sqrt{x}-5=2\sqrt{x}-5.$$
Приравняем производную к нулю:
$$2\sqrt{x}=5\;\Rightarrow\;\sqrt{x}=2{,}5\;\Rightarrow\;x=6{,}25.$$
При $x<6{,}25$ производная отрицательна (функция убывает), при $x>6{,}25$ — положительна (растёт).
Знак меняется с минуса на плюс — это точка минимума.
$$x_{\min}=6{,}25.$$