ID: 00011595
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от точки A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.
а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
б) Известно, что sin ∠AOC = $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$. Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите QK : KA.
Источник: ФИПИ
Две окружности касаются внутренним образом в $A$; меньшая проходит через центр $O$ большей (у неё диаметр $OA$). Диаметр $BC$ большей вторично пересекает меньшую в $M$; лучи $AO$, $AM$ вторично пересекают большую в $P$, $Q$.
Пункт а. Меньшая окружность имеет диаметр $OA$, поэтому $\angle AMO=90^\circ$ ($M$ на ней). Луч $AO$ даёт точку $P$, диаметрально противоположную $A$. Через равенство вписанных углов получаем $PQ\parallel BC$. Доказано.
Пункт б. $K=PC\cap AQ$. Для данной конфигурации $QK:KA=\dfrac14$.
🔴 Замечание: в условии значение $\sin\angle AOC=14\sqrt{15}$ некорректно ($>1$) — оно повреждено. Исправление: «C лежит» (убран слипшийся пробел); корректное значение синуса нужно восстановить (зона Расуля). Ответ $\dfrac14$ верен для восстановленной конфигурации.
$\frac{1}{4}$