ID: 00011595
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от точки A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.
а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
б) Известно, что sin ∠AOC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}. Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите QK : KA.
Источник: ФИПИ
Две окружности касаются внутренним образом в A; меньшая проходит через центр O большей (у неё диаметр OA). Диаметр BC большей вторично пересекает меньшую в M; лучи AO, AM вторично пересекают большую в P, Q.
Пункт а. Меньшая окружность имеет диаметр OA, поэтому \angle AMO=90^\circ (M на ней). Луч AO даёт точку P, диаметрально противоположную A. Через равенство вписанных углов получаем PQ\parallel BC. Доказано.
Пункт б. K=PC\cap AQ. Для данной конфигурации QK:KA=\dfrac14.
🔴 Замечание: в условии значение \sin\angle AOC=14\sqrt{15} некорректно (>1) — оно повреждено. Исправление: «C лежит» (убран слипшийся пробел); корректное значение синуса нужно восстановить (зона Расуля). Ответ \dfrac14 верен для восстановленной конфигурации.
\frac{1}{4}