ID: 00011594
Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямые AE и BD параллельны.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.
Источник: ФИПИ
Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$; вершины $A$, $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ (прямой угол $C$) лежат на окружностях. Прямые $AC$, $BC$ вторично пересекают окружности в $E$, $D$.
Пункт а. В точке касания проведём общую касательную. По теореме об угле между касательной и хордой углы $\angle DAC$ и $\angle CBE$ равны соответствующим вписанным углам, поэтому $AD\parallel BE$ (для внутреннего) / $AE\parallel BD$. Доказано.
Пункт б. Хорда из точки касания на окружности радиуса $\rho$ под углом $\psi$ к линии центров равна $2\rho\cos\psi$. Записав $AC$, $BC$ через радиусы и угол и приравняв катеты (равнобедренный), получаем $AC=\dfrac{2r_Ar_B}{\sqrt{r_A^2+r_B^2}}=\dfrac{2\cdot15\cdot8}{\sqrt{15^2+8^2}}=\dfrac{240}{17}$.
$\frac{240}{17}$