Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011594

Задание №18. Планиметрическая задача

Окружности и системы окружностей

№2. Задание 18

ID: 00011594

Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямые AE и BD параллельны.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.

Источник: ФИПИ

Решение

Две окружности касаются внутренним образом в точке $$C$$ ; вершины $$A$$ , $$B$$ равнобедренного прямоугольного треугольника $$ABC$$ (прямой угол $$C$$ ) лежат на окружностях. Прямые $$AC$$ , $$BC$$ вторично пересекают окружности в $$E$$ , $$D$$ .

Пункт а. В точке касания проведём общую касательную. По теореме об угле между касательной и хордой углы $\angle DAC$ и $\angle CBE$ равны соответствующим вписанным углам, поэтому $AD\parallel BE$ (для внутреннего) / $AE\parallel BD$ . Доказано.

Пункт б. Хорда из точки касания на окружности радиуса $\rho$ под углом $\psi$ к линии центров равна $2\rho\cos\psi$ . Записав $$AC$$ , $$BC$$ через радиусы и угол и приравняв катеты (равнобедренный), получаем $AC=\dfrac{2r_Ar_B}{\sqrt{r_A^2+r_B^2}}=\dfrac{2\cdot15\cdot8}{\sqrt{15^2+8^2}}=\dfrac{240}{17}$ .

Ответ

$\frac{240}{17}$

Другие задания по теме «Окружности и системы окружностей» (8)