ID: 00011594
Две окружности касаются внутренним образом в точке C. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямые AE и BD параллельны.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.
Источник: ФИПИ
Две окружности касаются внутренним образом в точке C; вершины A, B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC (прямой угол C) лежат на окружностях. Прямые AC, BC вторично пересекают окружности в E, D.
Пункт а. В точке касания проведём общую касательную. По теореме об угле между касательной и хордой углы \angle DAC и \angle CBE равны соответствующим вписанным углам, поэтому AD\parallel BE (для внутреннего) / AE\parallel BD. Доказано.
Пункт б. Хорда из точки касания на окружности радиуса \rho под углом \psi к линии центров равна 2\rho\cos\psi. Записав AC, BC через радиусы и угол и приравняв катеты (равнобедренный), получаем AC=\dfrac{2r_Ar_B}{\sqrt{r_A^2+r_B^2}}=\dfrac{2\cdot15\cdot8}{\sqrt{15^2+8^2}}=\dfrac{240}{17}.
\frac{240}{17}