ID: 00011592
Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB = 10, BC = 9, CD = 30, AD = 39.
а) Докажите, что прямая O_1O_2 параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите O_1O_2.
Источник: ФИПИ
В трапеции ABCD окружность O_1 касается оснований BC, AD и боковой AB; окружность O_2 касается BC, CD, AD. AB=10, BC=9, CD=30, AD=39.
Пункт а. Обе окружности касаются обоих оснований, поэтому их радиусы равны \dfrac h2, а центры лежат на средней линии — на одинаковом расстоянии от оснований. Значит O_1O_2\parallel основаниям. Доказано.
Пункт б. Координаты: A=(0;0), D=(39;0), B=\left(\dfrac53;h\right), C=\left(\dfrac53+9;h\right) с AB=10, CD=30 дают h. Центры O_1, O_2 на высоте \dfrac h2, их абсциссы — из условия касания боковых сторон (\mathrm{dist}=\dfrac h2). Разность абсцисс O_1O_2=4.
4