Окружность с центром O индекс 1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O индекс 2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB = 10, BC = 9, CD = 30, AD = 39. а) Докажите, что прямая O индекс 1 O индекс 2 параллельна основаниям трапеции ABCD. б) Найдите O индекс 1 O индекс 2.

Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011592

Задание №18. Планиметрическая задача

Окружности и системы окружностей

№2. Задание 18

ID: 00011592

Окружность с центром $$O_1$$ касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром $$O_2$$ касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB = 10, BC = 9, CD = 30, AD = 39.
а) Докажите, что прямая $$O_1O_2$$ параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите $$O_1O_2$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В трапеции $$ABCD$$ окружность $$O_1$$ касается оснований $$BC$$ , $$AD$$ и боковой $$AB$$ ; окружность $$O_2$$ касается $$BC$$ , $$CD$$ , $$AD$$ . $$AB=10$$ , $$BC=9$$ , $$CD=30$$ , $$AD=39$$ .

Пункт а. Обе окружности касаются обоих оснований, поэтому их радиусы равны $\dfrac h2$ , а центры лежат на средней линии — на одинаковом расстоянии от оснований. Значит $O_1O_2\parallel$ основаниям. Доказано.

Пункт б. Координаты: $$A=(0;0)$$ , $$D=(39;0)$$ , $B=\left(\dfrac53;h\right)$ , $C=\left(\dfrac53+9;h\right)$ с $$AB=10$$ , $$CD=30$$ дают $$h$$ . Центры $$O_1$$ , $$O_2$$ на высоте $\dfrac h2$ , их абсциссы — из условия касания боковых сторон ( $\mathrm{dist}=\dfrac h2$ ). Разность абсцисс $$O_1O_2=4$$ .

Ответ

Другие задания по теме «Окружности и системы окружностей» (8)