ID: 00011592
Окружность с центром $O_1$ касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром $O_2$ касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB = 10, BC = 9, CD = 30, AD = 39.
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите $O_1O_2$.
Источник: ФИПИ
В трапеции $ABCD$ окружность $O_1$ касается оснований $BC$, $AD$ и боковой $AB$; окружность $O_2$ касается $BC$, $CD$, $AD$. $AB=10$, $BC=9$, $CD=30$, $AD=39$.
Пункт а. Обе окружности касаются обоих оснований, поэтому их радиусы равны $\dfrac h2$, а центры лежат на средней линии — на одинаковом расстоянии от оснований. Значит $O_1O_2\parallel$ основаниям. Доказано.
Пункт б. Координаты: $A=(0;0)$, $D=(39;0)$, $B=\left(\dfrac53;h\right)$, $C=\left(\dfrac53+9;h\right)$ с $AB=10$, $CD=30$ дают $h$. Центры $O_1$, $O_2$ на высоте $\dfrac h2$, их абсциссы — из условия касания боковых сторон ($\mathrm{dist}=\dfrac h2$). Разность абсцисс $O_1O_2=4$.
4