ID: 00011591
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B.
Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что ∠ANB = 2 · ∠ABC.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что AC = 14 и AB = 36.
Источник: ФИПИ
Окружность с центром O касается сторон угла N в точках A, B; BC — диаметр.
Пункт а. Диаметр даёт \angle BAC=90^\circ. Центральный угол \angle AOB вдвое больше вписанного \angle ACB на дугу AB; через равные углы касательных и радиусов получаем \angle ANB=2\angle ABC. Доказано.
Пункт б. Координаты с центром O: AB=2R\sin\varphi=36, AC=2R\cos\varphi=14, откуда R\sin\varphi=18, R\cos\varphi=7, R=\sqrt{373}. Прямая AB вертикальна: x=R\cos\varphi=7; вершина N=\left(\dfrac{R^2}{R\cos\varphi};0\right)=\left(\dfrac{373}{7};0\right). Расстояние от N до AB: \dfrac{373}{7}-7=\dfrac{324}{7}.
\frac{324}{7}