Global EE

Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011591

Задание №18. Планиметрическая задача

Окружности и треугольники

№2. Задание 18

ID: 00011591

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B.
Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что $∠ANB = 2 · ∠ABC$.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если известно, что AC = 14 и AB = 36.

Источник: ФИПИ

Решение

Окружность с центром $O$ касается сторон угла $N$ в точках $A$, $B$; $BC$ — диаметр.

Пункт а. Диаметр даёт $\angle BAC=90^\circ$. Центральный угол $\angle AOB$ вдвое больше вписанного $\angle ACB$ на дугу $AB$; через равные углы касательных и радиусов получаем $\angle ANB=2\angle ABC$. Доказано.

Пункт б. Координаты с центром $O$: $AB=2R\sin\varphi=36$, $AC=2R\cos\varphi=14$, откуда $R\sin\varphi=18$, $R\cos\varphi=7$, $R=\sqrt{373}$. Прямая $AB$ вертикальна: $x=R\cos\varphi=7$; вершина $N=\left(\dfrac{R^2}{R\cos\varphi};0\right)=\left(\dfrac{373}{7};0\right)$. Расстояние от $N$ до $AB$: $\dfrac{373}{7}-7=\dfrac{324}{7}$.

Ответ

$\frac{324}{7}$

Другие задания по теме «Окружности и треугольники» (8)