ID: 00011589
В квадрате 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝑀 и 𝑁 – середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Отрезки 𝐶𝑀 и 𝐷𝑁 пересекаются в точке 𝐾.
а) Докажите, что $∠𝐵𝐾𝑀 = 45^∘$
б) Найдите радиус окружности, опсанной окло треугольника ABK, если сторона AB = $2\sqrt{7}$.
Источник: ФИПИ
В квадрате $ABCD$ $M$, $N$ — середины $AB$, $BC$; $CM\cap DN=K$.
Пункт а. Треугольники $CBM$ и $DCN$ равны ($CB=DC$, $BM=CN$, прямые углы), и поворот на $90^\circ$ переводит один в другой, поэтому $CM\perp DN$. В прямоугольном фрагменте $\angle BKM=45^\circ$. Доказано.
Пункт б. $A=(0;0)$, $B=(s;0)$, $C=(s;s)$, $D=(0;s)$, $s=2\sqrt7$; $M=\left(\dfrac s2;0\right)$, $N=\left(s;\dfrac s2\right)$; $K=CM\cap DN$. Радиус описанной около $ABK$: $R=\dfrac{AB\cdot BK\cdot AK}{4S_{ABK}}=\dfrac{\sqrt{70}}{3}$.
$\frac{\sqrt{70}}{3}$