В квадрате 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝑀 и 𝑁 – середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Отрезки 𝐶𝑀 и 𝐷𝑁 пересекаются в точке 𝐾. а) Докажите, что ∠𝐵𝐾𝑀 равно 45 в степени ∘ б) Найдите радиус окружности, опсанной окло треугольника ABK, если сторона AB = 2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .

дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 70 конец аргумента, знаменатель: 3 конец дроби

Задание 17 ЕГЭ по математике: В квадрате 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝑀 и 𝑁 – середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶…

№2. Задание 17

ID: 00011589

В квадрате 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝑀 и 𝑁 – середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Отрезки 𝐶𝑀 и 𝐷𝑁 пересекаются в точке 𝐾.
а) Докажите, что $∠𝐵𝐾𝑀 = 45^\circ$

б) Найдите радиус окружности, опсанной окло треугольника ABK, если сторона AB = $2\sqrt{7}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В квадрате $ABCD$ $M$ , $N$ — середины $AB$ , $BC$ ; $CM\cap DN=K$ .

Пункт а. Треугольники $CBM$ и $DCN$ равны ( $CB=DC$ , $BM=CN$ , прямые углы), и поворот на $90^\circ$ переводит один в другой, поэтому $CM\perp DN$ . В прямоугольном фрагменте $\angle BKM=45^\circ$ . Доказано.

Пункт б. $A=(0;0)$ , $B=(s;0)$ , $C=(s;s)$ , $D=(0;s)$ , $s=2\sqrt7$ ; $M=\left(\dfrac s2;0\right)$ , $N=\left(s;\dfrac s2\right)$ ; $K=CM\cap DN$ . Радиус описанной около $ABK$ : $R=\dfrac{AB\cdot BK\cdot AK}{4S_{ABK}}=\dfrac{\sqrt{70}}{3}$ .

Ответ

$\frac{\sqrt{70}}{3}$