В квадрате 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝑀 и 𝑁 – середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Отрезки 𝐶𝑀 и 𝐷𝑁 пересекаются в точке 𝐾. а) Докажите, что ∠𝐵𝐾𝑀 равно 45 в степени ∘ б) Найдите радиус окружности, опсанной окло треугольника ABK, если сторона AB = 2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента.

дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 70 конец аргумента, знаменатель: 3 конец дроби

Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011589

Задание №18. Планиметрическая задача

Четырехугольники и их свойства

№2. Задание 18

ID: 00011589

В квадрате 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝑀 и 𝑁 – середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 соответственно. Отрезки 𝐶𝑀 и 𝐷𝑁 пересекаются в точке 𝐾.
а) Докажите, что $$∠𝐵𝐾𝑀 = 45^\circ$$

б) Найдите радиус окружности, опсанной окло треугольника ABK, если сторона AB = $2\sqrt{7}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В квадрате $$ABCD$$ $$M$$ , $$N$$ — середины $$AB$$ , $$BC$$ ; $CM\cap DN=K$ .

Пункт а. Треугольники $$CBM$$ и $$DCN$$ равны ( $$CB=DC$$ , $$BM=CN$$ , прямые углы), и поворот на $90^\circ$ переводит один в другой, поэтому $CM\perp DN$ . В прямоугольном фрагменте $\angle BKM=45^\circ$ . Доказано.

Пункт б. $$A=(0;0)$$ , $$B=(s;0)$$ , $$C=(s;s)$$ , $$D=(0;s)$$ , $s=2\sqrt7$ ; $M=\left(\dfrac s2;0\right)$ , $N=\left(s;\dfrac s2\right)$ ; $K=CM\cap DN$ . Радиус описанной около $$ABK$$ : $R=\dfrac{AB\cdot BK\cdot AK}{4S_{ABK}}=\dfrac{\sqrt{70}}{3}$ .

Ответ

$\frac{\sqrt{70}}{3}$

Другие задания по теме «Четырехугольники и их свойства» (8)