ID: 00011588
Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что $∠BHC_1$ = $∠BAH$.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если $B_1C_1$ = 18 и ∠BAC = 30°.
Источник: ФИПИ
Высоты $BB_1$, $CC_1$ остроугольного $ABC$ пересекаются в $H$.
Пункт а. В прямоугольном $BHC_1$: $\angle BHC_1=90^\circ-\angle HBC_1=90^\circ-(90^\circ-\angle A)=\angle A=\angle BAH$. Доказано.
Пункт б. Отрезок $B_1C_1=BC\cos A$, а расстояние от центра описанной окружности до $BC$ равно $R\cos A$. Так как $B_1C_1=2R\sin A\cos A$, искомое расстояние $R\cos A=\dfrac{B_1C_1}{2\sin A}=\dfrac{18}{2\sin30^\circ}=\dfrac{18}{1}=18$.
18