ID: 00011588
Высоты BB_1 и CC_1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠BHC_1 = ∠BAH.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B_1C_1 = 18 и ∠BAC = 30°.
Источник: ФИПИ
Высоты BB_1, CC_1 остроугольного ABC пересекаются в H.
Пункт а. В прямоугольном BHC_1: \angle BHC_1=90^\circ-\angle HBC_1=90^\circ-(90^\circ-\angle A)=\angle A=\angle BAH. Доказано.
Пункт б. Отрезок B_1C_1=BC\cos A, а расстояние от центра описанной окружности до BC равно R\cos A. Так как B_1C_1=2R\sin A\cos A, искомое расстояние R\cos A=\dfrac{B_1C_1}{2\sin A}=\dfrac{18}{2\sin30^\circ}=\dfrac{18}{1}=18.
18