Высоты BB индекс 1 и CC индекс 1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠BHC индекс 1 = ∠BAH. б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B индекс 1 C индекс 1 = 18 и ∠BAC = 30°.

Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011588

Задание №18. Планиметрическая задача

Окружности и треугольники

№2. Задание 18

ID: 00011588

Высоты $$BB_1$$ и $$CC_1$$ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что $$∠BHC_1$$ = $$∠BAH$$ .
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если $$B_1C_1$$ = 18 и ∠BAC = 30°.

Источник: ФИПИ

Решение

Высоты $$BB_1$$ , $$CC_1$$ остроугольного $$ABC$$ пересекаются в $$H$$ .

Пункт а. В прямоугольном $$BHC_1$$ : $\angle BHC_1=90^\circ-\angle HBC_1=90^\circ-(90^\circ-\angle A)=\angle A=\angle BAH$ . Доказано.

Пункт б. Отрезок $B_1C_1=BC\cos A$ , а расстояние от центра описанной окружности до $$BC$$ равно $R\cos A$ . Так как $B_1C_1=2R\sin A\cos A$ , искомое расстояние $R\cos A=\dfrac{B_1C_1}{2\sin A}=\dfrac{18}{2\sin30^\circ}=\dfrac{18}{1}=18$ .

Ответ

Другие задания по теме «Окружности и треугольники» (8)