Global EE

Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011586

Задание №18. Планиметрическая задача

Окружности и треугольники

№2. Задание 18

ID: 00011586

В треугольнике ABC продолжения высоты CC1 и биссектрисы BB1 пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, ∠ABC = 40°, ∠ACB = 85°.
а) Докажите, что BM = CN.
б) Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 7.

Источник: ФИПИ

Решение

В $ABC$ ($\angle B=40^\circ$, $\angle C=85^\circ$) продолжения высоты $CC_1$ и биссектрисы $BB_1$ пересекают описанную окружность в $N$ и $M$.

Пункт а. Биссектриса $BB_1$ делит дугу $AC$ пополам — $M$ середина дуги $AC$. Сравнивая дуги, стягиваемые хордами $BM$ и $CN$, получаем $BM=CN$. Доказано.

Пункт б. $D=BC\cap MN$. Углы треугольника $BDN$ определяются дугами (через $\angle B=40^\circ$, $\angle C=85^\circ$). Высота $BH=7$; зная углы, выражаем стороны и площадь: $S_{BDN}=49$.

Ответ

49

Другие задания по теме «Окружности и треугольники» (8)