Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011584

Задание №18. Планиметрическая задача

Окружности и треугольники

№2. Задание 18

ID: 00011584

В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 3, ∠ABC = 15°.

Источник: ФИПИ

Решение

В треугольнике $$ABC$$ с $\angle A=120^\circ$ ортоцентр $$H$$ (пересечение прямых высот $$BM$$ , $$CN$$ ), $$O$$ — центр описанной окружности.

Пункт а. Так как $AH=2R|\cos120^\circ|=2R\cdot\dfrac12=R$ и $$AO=R$$ , получаем $$AH=AO$$ . Доказано.

Пункт б. Найдём площадь $$AHO$$ , если $$BC=3$$ , $\angle ABC=15^\circ$ .

Радиус: $R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{3}{2\sin120^\circ}=\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$ . Тогда $AH=AO=\sqrt3$ .

Угол $\angle HAO$ находим через $\angle B=15^\circ$ , $\angle C=45^\circ$ ; площадь $S_{AHO}=\dfrac12 AH\cdot AO\sin\angle HAO=\dfrac{3}{4}$ .

Ответ

$\frac{3}{4}$

Другие задания по теме «Окружности и треугольники» (8)