ID: 00011584
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 3, ∠ABC = 15°.
Источник: ФИПИ
В треугольнике $ABC$ с $\angle A=120^\circ$ ортоцентр $H$ (пересечение прямых высот $BM$, $CN$), $O$ — центр описанной окружности.
Пункт а. Так как $AH=2R|\cos120^\circ|=2R\cdot\dfrac12=R$ и $AO=R$, получаем $AH=AO$. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь $AHO$, если $BC=3$, $\angle ABC=15^\circ$.
Радиус: $R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{3}{2\sin120^\circ}=\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$. Тогда $AH=AO=\sqrt3$.
Угол $\angle HAO$ находим через $\angle B=15^\circ$, $\angle C=45^\circ$; площадь $S_{AHO}=\dfrac12 AH\cdot AO\sin\angle HAO=\dfrac{3}{4}$.
$\frac{3}{4}$