ID: 00011584
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 3, ∠ABC = 15°.
Источник: ФИПИ
В треугольнике ABC с \angle A=120^\circ ортоцентр H (пересечение прямых высот BM, CN), O — центр описанной окружности.
Пункт а. Так как AH=2R|\cos120^\circ|=2R\cdot\dfrac12=R и AO=R, получаем AH=AO. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь AHO, если BC=3, \angle ABC=15^\circ.
Радиус: R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{3}{2\sin120^\circ}=\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3. Тогда AH=AO=\sqrt3.
Угол \angle HAO находим через \angle B=15^\circ, \angle C=45^\circ; площадь S_{AHO}=\dfrac12 AH\cdot AO\sin\angle HAO=\dfrac{3}{4}.
\frac{3}{4}