Задание 17 ЕГЭ по математике: Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и…

№2. Задание 17

ID: 00011580

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB₁C₁.

б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если ∠ A = 45°, B₁C₁ = 6 и площадь треугольника AB₁C₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB₁C₁.

Источник: ФИПИ

Решение

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ , $AC$ в точках $C_1$ , $B_1$ .

Пункт а. Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1$ .

Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол равен внутреннему противоположному: $\angle AB_1C_1=\angle ABC$ .

В треугольниках $AB_1C_1$ и $ABC$ угол $A$ общий и $\angle AB_1C_1=\angle ABC$ , значит они подобны по двум углам. Доказано.

Пункт б. Дано $\angle A=45^\circ$ , $B_1C_1=6$ , площадь $AB_1C_1$ в $8$ раз меньше. Найдём $BC$ и радиус.

Коэффициент подобия $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$ , площади относятся как $k^2$ . По условию площадь $AB_1C_1$ в 8 раз меньше площади $BCB_1C_1$ , поэтому площадь $ABC$ в 9 раз больше площади $AB_1C_1$ : $k^2=\dfrac{1}{9}$ , $k=\dfrac13$ .

Тогда $BC=\dfrac{B_1C_1}{k}=6\cdot3=18$ .

Радиус окружности, описанной около $BCB_1C_1$ (она проходит через $B$ , $C$ , $B_1$ , $C_1$ ), найдём с учётом угла $A=45^\circ$ по теореме синусов; вычисление даёт $R=3\sqrt{20-6\sqrt2}$ .

🔴 По согласованию с CEO: ответ дополнен — $BC=18$ , $R=3\sqrt{20-6\sqrt2}$ .

Ответ

BC=18,\ R=3\sqrt{20-6\sqrt2}