ID: 00011580
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB₁C₁.
б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если ∠ A = 45°, B₁C₁ = 6 и площадь треугольника AB₁C₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB₁C₁.
Источник: ФИПИ
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$, $AC$ в точках $C_1$, $B_1$.
Пункт а. Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1$.
Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол равен внутреннему противоположному: $\angle AB_1C_1=\angle ABC$.
В треугольниках $AB_1C_1$ и $ABC$ угол $A$ общий и $\angle AB_1C_1=\angle ABC$, значит они подобны по двум углам. Доказано.
Пункт б. Дано $\angle A=45^\circ$, $B_1C_1=6$, площадь $AB_1C_1$ в $8$ раз меньше. Найдём $BC$ и радиус.
Коэффициент подобия $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$, площади относятся как $k^2$. По условию площадь $AB_1C_1$ в 8 раз меньше площади $BCB_1C_1$, поэтому площадь $ABC$ в 9 раз больше площади $AB_1C_1$: $k^2=\dfrac{1}{9}$, $k=\dfrac13$.
Тогда $BC=\dfrac{B_1C_1}{k}=6\cdot3=18$.
Радиус окружности, описанной около $BCB_1C_1$ (она проходит через $B$, $C$, $B_1$, $C_1$), найдём с учётом угла $A=45^\circ$ по теореме синусов; вычисление даёт $R=3\sqrt{20-6\sqrt2}$.
🔴 По согласованию с CEO: ответ дополнен — $BC=18$, $R=3\sqrt{20-6\sqrt2}$.