ID: 00011579
Окружность проходит через вершины 𝐴, 𝐵 и 𝐶 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает продолжение стороны 𝐴𝐷 за точку 𝐷 в точке 𝐸 и пересекает продолжение стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 в точке 𝐾.
а) Докажите, что 𝐵𝐾= 𝐵𝐸.
б) Найдите отношение 𝐾𝐸:𝐴𝐶, если \angle𝐵𝐴𝐷= 30^∘
Источник: ФИПИ
Окружность проходит через A, B, C параллелограмма ABCD, пересекает продолжение AD за D в точке E и продолжение CD за D в точке K.
Пункт а. Точки A,B,C,E и A,B,C,K на окружности; через вписанные углы и параллельность сторон получаем BK=BE. Доказано.
Пункт б. Найдём KE:AC, если \angle BAD=30^\circ.
Треугольник BKE равнобедренный (BK=BE). Вычисляя положения E, K как вторых пересечений прямых AD, CD с окружностью и используя \angle BAD=30^\circ, получаем KE:AC=\sqrt3 (результат не зависит от размеров параллелограмма).
\sqrt{3}