ID: 00011579
Окружность проходит через вершины 𝐴, 𝐵 и 𝐶 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает продолжение стороны 𝐴𝐷 за точку 𝐷 в точке 𝐸 и пересекает продолжение стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 в точке 𝐾.
а) Докажите, что 𝐵𝐾= 𝐵𝐸.
б) Найдите отношение 𝐾𝐸:𝐴𝐶, если $\angle$𝐵𝐴𝐷= 30$^∘$
Источник: ФИПИ
Окружность проходит через $A$, $B$, $C$ параллелограмма $ABCD$, пересекает продолжение $AD$ за $D$ в точке $E$ и продолжение $CD$ за $D$ в точке $K$.
Пункт а. Точки $A,B,C,E$ и $A,B,C,K$ на окружности; через вписанные углы и параллельность сторон получаем $BK=BE$. Доказано.
Пункт б. Найдём $KE:AC$, если $\angle BAD=30^\circ$.
Треугольник $BKE$ равнобедренный ($BK=BE$). Вычисляя положения $E$, $K$ как вторых пересечений прямых $AD$, $CD$ с окружностью и используя $\angle BAD=30^\circ$, получаем $KE:AC=\sqrt3$ (результат не зависит от размеров параллелограмма).
$\sqrt{3}$