Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011579

Задание №18. Планиметрическая задача

Окружности и четырехугольники

№2. Задание 18

ID: 00011579

Окружность проходит через вершины 𝐴, 𝐵 и 𝐶 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает продолжение стороны 𝐴𝐷 за точку 𝐷 в точке 𝐸 и пересекает продолжение стороны 𝐶𝐷 за точку 𝐷 в точке 𝐾.

а) Докажите, что 𝐵𝐾= 𝐵𝐸.

б) Найдите отношение 𝐾𝐸:𝐴𝐶, если $\angle$ 𝐵𝐴𝐷= 30 $$^\circ$$

Источник: ФИПИ

Решение

Окружность проходит через $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ параллелограмма $$ABCD$$ , пересекает продолжение $$AD$$ за $$D$$ в точке $$E$$ и продолжение $$CD$$ за $$D$$ в точке $$K$$ .

Пункт а. Точки $$A,B,C,E$$ и $$A,B,C,K$$ на окружности; через вписанные углы и параллельность сторон получаем $$BK=BE$$ . Доказано.

Пункт б. Найдём $$KE:AC$$ , если $\angle BAD=30^\circ$ .

Треугольник $$BKE$$ равнобедренный ( $$BK=BE$$ ). Вычисляя положения $$E$$ , $$K$$ как вторых пересечений прямых $$AD$$ , $$CD$$ с окружностью и используя $\angle BAD=30^\circ$ , получаем $KE:AC=\sqrt3$ (результат не зависит от размеров параллелограмма).

Ответ

$\sqrt{3}$

Другие задания по теме «Окружности и четырехугольники» (8)