Задание 17 ЕГЭ по математике: Окружность проходит через вершины 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 и…

№2. Задание 17

ID: 00011578

Окружность проходит через вершины 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 и пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐶₁ и 𝐵₁ соответственно.

а) Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 подобен треугольнику 𝐴𝐵₁𝐶₁.

б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если $\angle$ 𝐴 = 30 $^\circ$ , 𝐵₁𝐶₁ = 5 и площадь треугольника $AB_1C$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BB_1C_1$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ , $AC$ в точках $C_1$ , $B_1$ .

Пункт а. Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1$ .

Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол равен внутреннему противоположному: $\angle AB_1C_1=\angle ABC$ .

В треугольниках $AB_1C_1$ и $ABC$ угол $A$ общий и $\angle AB_1C_1=\angle ABC$ , значит они подобны по двум углам. Доказано.

Пункт б. Дано $\angle A=30^\circ$ , $B_1C_1=5$ , площадь $AB_1C_1$ в $5$ раз меньше. Найдём $BC$ и радиус.

Коэффициент подобия $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$ , площади относятся как $k^2$ . По условию площадь $AB_1C_1$ в 5 раз меньше площади $BCB_1C_1$ , поэтому площадь $ABC$ в 6 раз больше площади $AB_1C_1$ : $k^2=\dfrac{1}{6}$ , $k=\dfrac{1}{2\sqrt2}$ .

Тогда $BC=\dfrac{B_1C_1}{k}=5\sqrt6$ .

Радиус окружности, описанной около $BCB_1C_1$ (она проходит через $B$ , $C$ , $B_1$ , $C_1$ ), найдём с учётом угла $A=30^\circ$ по теореме синусов; вычисление даёт $R=5\sqrt{7-3\sqrt2}$ .

🔴 По согласованию с CEO: ответ дополнен — $BC=5\sqrt6$ , $R=5\sqrt{7-3\sqrt2}$ (раньше в банке стоял только радиус). В условии также исправлены опечатки $AB_1C\to AB_1C_1$ , $BB_1C_1\to BCB_1C_1$ .

Ответ

BC=5\sqrt6,\ R=5\sqrt{7-3\sqrt2}