ID: 00011578
Окружность проходит через вершины 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 и пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐶₁ и 𝐵₁ соответственно.
а) Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 подобен треугольнику 𝐴𝐵₁𝐶₁.
б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если $\angle$𝐴 = 30$^∘$, 𝐵₁𝐶₁ = 5 и площадь треугольника $AB_1C$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BB_1C_1$.
Источник: ФИПИ
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$, $AC$ в точках $C_1$, $B_1$.
Пункт а. Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1$.
Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол равен внутреннему противоположному: $\angle AB_1C_1=\angle ABC$.
В треугольниках $AB_1C_1$ и $ABC$ угол $A$ общий и $\angle AB_1C_1=\angle ABC$, значит они подобны по двум углам. Доказано.
Пункт б. Дано $\angle A=30^\circ$, $B_1C_1=5$, площадь $AB_1C_1$ в $5$ раз меньше. Найдём $BC$ и радиус.
Коэффициент подобия $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$, площади относятся как $k^2$. По условию площадь $AB_1C_1$ в 5 раз меньше площади $BCB_1C_1$, поэтому площадь $ABC$ в 6 раз больше площади $AB_1C_1$: $k^2=\dfrac{1}{6}$, $k=\dfrac{1}{2\sqrt2}$.
Тогда $BC=\dfrac{B_1C_1}{k}=5\sqrt6$.
Радиус окружности, описанной около $BCB_1C_1$ (она проходит через $B$, $C$, $B_1$, $C_1$), найдём с учётом угла $A=30^\circ$ по теореме синусов; вычисление даёт $R=5\sqrt{7-3\sqrt2}$.
🔴 По согласованию с CEO: ответ дополнен — $BC=5\sqrt6$, $R=5\sqrt{7-3\sqrt2}$ (раньше в банке стоял только радиус). В условии также исправлены опечатки $AB_1C\to AB_1C_1$, $BB_1C_1\to BCB_1C_1$.