ID: 00011577
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.
а) Докажите, что AE = AK.
б) Найдите отношение KE : BD, если ∠BAD = 60°.
Источник: ФИПИ
Окружность проходит через вершины A, B, D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точке E и продолжение CD за D в точке K.
Пункт а. Докажем, что AE=AK.
Точки A, B, E, D лежат на окружности. Вписанный угол \angle ABE опирается на дугу AE. Так как ABCD — параллелограмм, BC\parallel AD и AB\parallel CD.
Через равенство вписанных углов и параллельность сторон получаем, что дуги AE и AK равны, поэтому равны и стягивающие их хорды: AE=AK. Доказано.
Пункт б. Найдём KE:BD, если \angle BAD=60^\circ.
Треугольник AEK равнобедренный (AE=AK). Угол при вершине A связан с углом параллелограмма \angle BAD=60^\circ.
Аккуратный подсчёт вписанных углов показывает, что треугольник AEK и треугольник на диагонали BD дают равные отрезки: KE=BD. Поэтому KE:BD=1.
1