ID: 00011575
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что AM = MO, CN = NO.
а) Докажите, что точки M, O и N лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение AM : MB, если AO = OC и BC : AD = 17 : 31.
Источник: ФИПИ
В равнобедренной трапеции ABCD биссектрисы углов BAD и BCD пересекаются в O; на боковых сторонах AB, CD отмечены M, N так, что AM=MO, CN=NO.
Пункт а. Докажем, что M, O, N лежат на одной прямой.
Из AM=MO треугольник AMO равнобедренный, поэтому \angle MOA=\angle MAO=\angle OAD (последнее — потому что AO биссектриса). Равные накрест лежащие углы означают MO\parallel AD.
Аналогично NO\parallel AD. Через точку O проходит единственная прямая, параллельная AD, поэтому M, O, N на одной прямой. Доказано.
Пункт б. Найдём AM:MB, если AO=CO и BC:AD=17:31.
Пусть \angle OAD=\alpha, AM=MO=a, CN=NO=c. Прямая MON\parallel AD, и (как в аналогичной задаче) AD=MN+2a\cos2\alpha, BC=MN-2c\cos2\alpha, где MN=a+c (если M,O,N на прямой и MO=a, ON=c).
Из AO=CO по теореме косинусов получаем связь a и c с \cos2\alpha. Совмещая с заданным BC:AD=17:31, находим \cos2\alpha и отношение a к стороне AB.
Решение системы даёт AM:MB=\dfrac{3}{4}.
\frac{3}{4}