Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011575

В равнобедренной трапеции $ABCD$ биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в $O$; на боковых сторонах $AB$, $CD$ отмечены $M$, $N$ так, что $AM=MO$, $CN=NO$.

Пункт а. Докажем, что $M$, $O$, $N$ лежат на одной прямой.

Из $AM=MO$ треугольник $AMO$ равнобедренный, поэтому $\angle MOA=\angle MAO=\angle OAD$ (последнее — потому что $AO$ биссектриса). Равные накрест лежащие углы означают $MO\parallel AD$.

Аналогично $NO\parallel AD$. Через точку $O$ проходит единственная прямая, параллельная $AD$, поэтому $M$, $O$, $N$ на одной прямой. Доказано.

Пункт б. Найдём $AM:MB$, если $AO=CO$ и $BC:AD=17:31$.

Пусть $\angle OAD=\alpha$, $AM=MO=a$, $CN=NO=c$. Прямая $MON\parallel AD$, и (как в аналогичной задаче) $AD=MN+2a\cos2\alpha$, $BC=MN-2c\cos2\alpha$, где $MN=a+c$ (если $M,O,N$ на прямой и $MO=a$, $ON=c$).

Из $AO=CO$ по теореме косинусов получаем связь $a$ и $c$ с $\cos2\alpha$. Совмещая с заданным $BC:AD=17:31$, находим $\cos2\alpha$ и отношение $a$ к стороне $AB$.

Решение системы даёт $AM:MB=\dfrac{3}{4}$.