ID: 00011574
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.
а) Докажите ,что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD ,если AD=15 и AC=$2\sqrt{61}$.
Источник: ФИПИ
В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ втрое больше $BC$; $CH$ — высота.
Пункт а. Докажем, что $CH$ делит $AD$ в отношении $2:1$.
Пусть $BC=t$, $AD=3t$. Свес с каждой стороны $\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{3t-t}{2}=t$. Тогда $DH=t$, $AH=3t-t=2t$, и $AH:HD=2:1$. Доказано.
Пункт б. Найдём расстояние от $C$ до середины диагонали $BD$, если $AD=15$, $AC=2\sqrt{61}$.
Тогда $BC=5$, свес $=\dfrac{15-5}{2}=5$. Координаты: $A=(0;0)$, $D=(15;0)$, $C=(10;h)$, $B=(5;h)$.
Из $AC=2\sqrt{61}$: $AC^2=10^2+h^2=4\cdot 61=244$, откуда $h^2=144$, $h=12$.
Середина $BD$: $\left(\dfrac{5+15}{2};\dfrac{12+0}{2}\right)=(10;6)$. Расстояние от $C=(10;12)$: $\sqrt{0+(12-6)^2}=\sqrt{36}=6$.
6