Задание 17 ЕГЭ по математике: В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше…

ID: 00011574

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.

а) Докажите ,что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD ,если AD=15 и AC= $2\sqrt{61}$ .

Источник: ФИПИ

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ втрое больше $BC$ ; $CH$ — высота.

Пункт а. Докажем, что $CH$ делит $AD$ в отношении $2:1$ .

Пусть $BC=t$ , $AD=3t$ . Свес с каждой стороны $\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{3t-t}{2}=t$ . Тогда $DH=t$ , $AH=3t-t=2t$ , и $AH:HD=2:1$ . Доказано.

Пункт б. Найдём расстояние от $C$ до середины диагонали $BD$ , если $AD=15$ , $AC=2\sqrt{61}$ .

Тогда $BC=5$ , свес $=\dfrac{15-5}{2}=5$ . Координаты: $A=(0;0)$ , $D=(15;0)$ , $C=(10;h)$ , $B=(5;h)$ .

Из $AC=2\sqrt{61}$ : $AC^2=10^2+h^2=4\cdot 61=244$ , откуда $h^2=144$ , $h=12$ .

Середина $BD$ : $\left(\dfrac{5+15}{2};\dfrac{12+0}{2}\right)=(10;6)$ . Расстояние от $C=(10;12)$ : $\sqrt{0+(12-6)^2}=\sqrt{36}=6$ .