Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011574

Задание №18. Планиметрическая задача

Четырехугольники и их свойства

№2. Задание 18

ID: 00011574

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.

а) Докажите ,что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD ,если AD=15 и AC= $2\sqrt{61}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

В равнобедренной трапеции $$ABCD$$ основание $$AD$$ втрое больше $$BC$$ ; $$CH$$ — высота.

Пункт а. Докажем, что $$CH$$ делит $$AD$$ в отношении $$2:1$$ .

Пусть $$BC=t$$ , $$AD=3t$$ . Свес с каждой стороны $\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{3t-t}{2}=t$ . Тогда $$DH=t$$ , $$AH=3t-t=2t$$ , и $$AH:HD=2:1$$ . Доказано.

Пункт б. Найдём расстояние от $$C$$ до середины диагонали $$BD$$ , если $$AD=15$$ , $AC=2\sqrt{61}$ .

Тогда $$BC=5$$ , свес $=\dfrac{15-5}{2}=5$ . Координаты: $$A=(0;0)$$ , $$D=(15;0)$$ , $$C=(10;h)$$ , $$B=(5;h)$$ .

Из $AC=2\sqrt{61}$ : $AC^2=10^2+h^2=4\cdot 61=244$ , откуда $$h^2=144$$ , $$h=12$$ .

Середина $$BD$$ : $\left(\dfrac{5+15}{2};\dfrac{12+0}{2}\right)=(10;6)$ . Расстояние от $$C=(10;12)$$ : $\sqrt{0+(12-6)^2}=\sqrt{36}=6$ .

Ответ

Другие задания по теме «Четырехугольники и их свойства» (8)