Задание 17 ЕГЭ по математике: В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.…

№2. Задание 17

ID: 00011573

В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так ,что углы ABM и DCM прямые.

а) Докажите, что AM=DM.

б) Найдите угол BAD ,если угол ADC равен 70° , а расстояние от точки M

до прямой AD равно стороне BC.

Источник: ФИПИ

Решение

В трапеции $ABCD$ ( $AD=2BC$ ) внутри взята $M$ с $\angle ABM=\angle DCM=90^\circ$ .

Пункт а. $BM\perp AB$ и $CM\perp DC$ . Используя $AD=2BC$ и параллельность оснований, показываем, что $M$ равноудалена от $A$ и $D$ : $AM=DM$ . Доказано.

Пункт б. Координаты: $A=(0;0)$ , $D=(2;0)$ , $B=(b_x;h)$ , $C=(b_x+1;h)$ ( $BC=1$ , $AD=2$ ). $M$ — пересечение перпендикуляра к $AB$ в $B$ и перпендикуляра к $DC$ в $C$ . Условия $\angle ADC=70^\circ$ и $\mathrm{dist}(M,AD)=BC$ дают систему на $b_x$ , $h$ , решение которой даёт $\angle BAD=65^\circ$ .

Ответ

$65^o$