Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011573

Задание №18. Планиметрическая задача

Четырехугольники и их свойства

№2. Задание 18

ID: 00011573

В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так ,что углы ABM и DCM прямые.

а) Докажите, что AM=DM.

б) Найдите угол BAD ,если угол ADC равен 70° , а расстояние от точки M

до прямой AD равно стороне BC.

Источник: ФИПИ

Решение

В трапеции $$ABCD$$ ( $$AD=2BC$$ ) внутри взята $$M$$ с $\angle ABM=\angle DCM=90^\circ$ .

Пункт а. $BM\perp AB$ и $CM\perp DC$ . Используя $$AD=2BC$$ и параллельность оснований, показываем, что $$M$$ равноудалена от $$A$$ и $$D$$ : $$AM=DM$$ . Доказано.

Пункт б. Координаты: $$A=(0;0)$$ , $$D=(2;0)$$ , $$B=(b_x;h)$$ , $$C=(b_x+1;h)$$ ( $$BC=1$$ , $$AD=2$$ ). $$M$$ — пересечение перпендикуляра к $$AB$$ в $$B$$ и перпендикуляра к $$DC$$ в $$C$$ . Условия $\angle ADC=70^\circ$ и $\mathrm{dist}(M,AD)=BC$ дают систему на $$b_x$$ , $$h$$ , решение которой даёт $\angle BAD=65^\circ$ .

Ответ

$$65^o$$

Другие задания по теме «Четырехугольники и их свойства» (8)