ID: 00011572
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC=15 и BD=8,5.
Источник: ФИПИ
В трапеции ABCD диагональ BD делит её на равнобедренные треугольники с основаниями AD и CD.
Пункт а. Из равнобедренности AB=BD и BC=BD, значит AB=BC=BD. Так как BC\parallel AD: \angle BCA=\angle CAD, и из AB=BC: \angle BCA=\angle BAC. Значит \angle BAC=\angle CAD — AC биссектриса. Доказано.
Пункт б. Найдём CD, если AC=15, BD=8{,}5.
AB=BC=BD=8{,}5. Координаты: A=(0;0), B=\left(\dfrac{L}{2};h\right), C=\left(\dfrac{L}{2}+8{,}5;h\right).
AB^2=\dfrac{L^2}{4}+h^2=72{,}25; AC^2=\left(\dfrac{L}{2}+8{,}5\right)^2+h^2=225. Вычитая: 8{,}5L+72{,}25=225, откуда L=\dfrac{152{,}75}{8{,}5}.
Подставляя в CD=\sqrt{\left(8{,}5-\dfrac{L}{2}\right)^2+h^2}, получаем CD=\sqrt{64}=8.
8