ID: 00011572
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC=15 и BD=8,5.
Источник: ФИПИ
В трапеции $ABCD$ диагональ $BD$ делит её на равнобедренные треугольники с основаниями $AD$ и $CD$.
Пункт а. Из равнобедренности $AB=BD$ и $BC=BD$, значит $AB=BC=BD$. Так как $BC\parallel AD$: $\angle BCA=\angle CAD$, и из $AB=BC$: $\angle BCA=\angle BAC$. Значит $\angle BAC=\angle CAD$ — $AC$ биссектриса. Доказано.
Пункт б. Найдём $CD$, если $AC=15$, $BD=8{,}5$.
$AB=BC=BD=8{,}5$. Координаты: $A=(0;0)$, $B=\left(\dfrac{L}{2};h\right)$, $C=\left(\dfrac{L}{2}+8{,}5;h\right)$.
$AB^2=\dfrac{L^2}{4}+h^2=72{,}25$; $AC^2=\left(\dfrac{L}{2}+8{,}5\right)^2+h^2=225$. Вычитая: $8{,}5L+72{,}25=225$, откуда $L=\dfrac{152{,}75}{8{,}5}$.
Подставляя в $CD=\sqrt{\left(8{,}5-\dfrac{L}{2}\right)^2+h^2}$, получаем $CD=\sqrt{64}=8$.
8