Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011572

Задание №18. Планиметрическая задача

Четырехугольники и их свойства

№2. Задание 18

ID: 00011572

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.

б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC=15 и BD=8,5.

Источник: ФИПИ

Решение

В трапеции $$ABCD$$ диагональ $$BD$$ делит её на равнобедренные треугольники с основаниями $$AD$$ и $$CD$$ .

Пункт а. Из равнобедренности $$AB=BD$$ и $$BC=BD$$ , значит $$AB=BC=BD$$ . Так как $BC\parallel AD$ : $\angle BCA=\angle CAD$ , и из $$AB=BC$$ : $\angle BCA=\angle BAC$ . Значит $\angle BAC=\angle CAD$ — $$AC$$ биссектриса. Доказано.

Пункт б. Найдём $$CD$$ , если $$AC=15$$ , $$BD=8{,}5$$ .

$$AB=BC=BD=8{,}5$$ . Координаты: $$A=(0;0)$$ , $B=\left(\dfrac{L}{2};h\right)$ , $C=\left(\dfrac{L}{2}+8{,}5;h\right)$ .

$AB^2=\dfrac{L^2}{4}+h^2=72{,}25$ ; $AC^2=\left(\dfrac{L}{2}+8{,}5\right)^2+h^2=225$ . Вычитая: $$8{,}5L+72{,}25=225$$ , откуда $L=\dfrac{152{,}75}{8{,}5}$ .

Подставляя в $CD=\sqrt{\left(8{,}5-\dfrac{L}{2}\right)^2+h^2}$ , получаем $CD=\sqrt{64}=8$ .

Ответ

Другие задания по теме «Четырехугольники и их свойства» (8)