На сторонах квадрата BC и CD отмечены точки K и E соответственно. Известно, что AK=3, KE=2, AE= корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента . а)Докажите, что угол BAK= угол EKC б)Найдите площадь квадрата ABCD.

Задание 17 ЕГЭ по математике: На сторонах квадрата BC и CD отмечены точки K и E…

№2. Задание 17

ID: 00011571

На сторонах квадрата BC и CD отмечены точки K и E соответственно. Известно, что AK=3, KE=2, AE= $\sqrt{13}$ .
а)Докажите, что $\angle$ BAK= $\angle$ EKC
б)Найдите площадь квадрата ABCD.

Источник: ФИПИ

Решение

На сторонах $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ отмечены $K$ и $E$ ; $AK=3$ , $KE=2$ , $AE=\sqrt{13}$ .

Пункт а. Докажем, что $\angle BAK=\angle EKC$ .

Так как $AK^2+KE^2=9+4=13=AE^2$ , угол $\angle AKE=90^\circ$ .

Тогда $\angle BAK+\angle AKB=90^\circ$ (из прямоугольного $ABK$ ) и $\angle AKB+\angle EKC=90^\circ$ (так как $\angle AKE=90^\circ$ ), откуда $\angle BAK=\angle EKC$ . Доказано.

Пункт б. Найдём площадь квадрата.

Из равенства углов прямоугольные треугольники $ABK$ и $KCE$ подобны. Обозначим сторону $s$ , $BK=x$ . Тогда $s^2+x^2=AK^2=9$ .

Координаты $A=(0;0)$ , $B=(s;0)$ , $K=(s;x)$ , $E=(e;s)$ . Из $KE=2$ и $AE=\sqrt{13}$ составляем систему и находим $s^2$ .

Решение даёт $s^2=8{,}1$ — это и есть площадь квадрата.

Ответ

8,1