ID: 00011571
На сторонах квадрата BC и CD отмечены точки K и E соответственно. Известно, что AK=3, KE=2, AE=$\sqrt{13}$.
а)Докажите, что $\angle$BAK=$\angle$EKC
б)Найдите площадь квадрата ABCD.
Источник: ФИПИ
На сторонах $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ отмечены $K$ и $E$; $AK=3$, $KE=2$, $AE=\sqrt{13}$.
Пункт а. Докажем, что $\angle BAK=\angle EKC$.
Так как $AK^2+KE^2=9+4=13=AE^2$, угол $\angle AKE=90^\circ$.
Тогда $\angle BAK+\angle AKB=90^\circ$ (из прямоугольного $ABK$) и $\angle AKB+\angle EKC=90^\circ$ (так как $\angle AKE=90^\circ$), откуда $\angle BAK=\angle EKC$. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь квадрата.
Из равенства углов прямоугольные треугольники $ABK$ и $KCE$ подобны. Обозначим сторону $s$, $BK=x$. Тогда $s^2+x^2=AK^2=9$.
Координаты $A=(0;0)$, $B=(s;0)$, $K=(s;x)$, $E=(e;s)$. Из $KE=2$ и $AE=\sqrt{13}$ составляем систему и находим $s^2$.
Решение даёт $s^2=8{,}1$ — это и есть площадь квадрата.
8,1