Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011571

На сторонах $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ отмечены $K$ и $E$; $AK=3$, $KE=2$, $AE=\sqrt{13}$.

Пункт а. Докажем, что $\angle BAK=\angle EKC$.

Так как $AK^2+KE^2=9+4=13=AE^2$, угол $\angle AKE=90^\circ$.

Тогда $\angle BAK+\angle AKB=90^\circ$ (из прямоугольного $ABK$) и $\angle AKB+\angle EKC=90^\circ$ (так как $\angle AKE=90^\circ$), откуда $\angle BAK=\angle EKC$. Доказано.

Пункт б. Найдём площадь квадрата.

Из равенства углов прямоугольные треугольники $ABK$ и $KCE$ подобны. Обозначим сторону $s$, $BK=x$. Тогда $s^2+x^2=AK^2=9$.

Координаты $A=(0;0)$, $B=(s;0)$, $K=(s;x)$, $E=(e;s)$. Из $KE=2$ и $AE=\sqrt{13}$ составляем систему и находим $s^2$.

Решение даёт $s^2=8{,}1$ — это и есть площадь квадрата.