Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011570

Задание №18. Планиметрическая задача

Четырехугольники и их свойства

№2. Задание 18

ID: 00011570

Дан параллелограмм ABCD c острым углом DAB В нем опущены высоты BP и BQ на стороны AD и CD соответственно. На стороне AD отмечена точка M так, что AM=BP Известно, что AB=BQ

а) Докажите, что BM=PQ

б) Найдите площадь треугольника APQ если AM=BP=21; AB=BQ=29

Источник: ФИПИ

Решение

В параллелограмме $$ABCD$$ высоты $$BP$$ (на $$AD$$ ) и $$BQ$$ (на $$CD$$ ); точка $$M$$ на $$AD$$ с $$AM=BP$$ ; $$AB=BQ$$ .

Пункт а. Треугольники $$MAB$$ и $$PBQ$$ равны ( $$AM=BP$$ , $$AB=BQ$$ , равные углы), поэтому $$BM=PQ$$ . Доказано.

Пункт б. Найдём площадь $$APQ$$ , если $$AM=BP=21$$ , $$AB=BQ=29$$ .

В прямоугольном треугольнике $$ABP$$ : $AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{29^2-21^2}=\sqrt{841-441}=\sqrt{400}=20$ .

Высота $$QH$$ треугольника $$BQP$$ : из равенства треугольников $$ABP$$ и $$BQH$$ имеем $$BH=AP=20$$ , тогда $$PH=BP-BH=21-20=1$$ .

Площадь $$APQ$$ равна площади $$APH$$ : $S=\dfrac12\cdot AP\cdot PH=\dfrac12\cdot 20\cdot 1=10$ .

Ответ

Другие задания по теме «Четырехугольники и их свойства» (8)