Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011568

В прямоугольнике $ABCD$ прямая через $B$ перпендикулярно $AC$ пересекает $AD$ в точке $M$, равноудалённой от $B$ и $D$.

Пункт а. Докажем, что лучи $BM$ и $BD$ делят угол $ABC$ на три равные части.

В координатах $A=(0;0)$, $B=(a;0)$, $C=(a;b)$, $D=(0;b)$ условие $MB=MD$ даёт $3a^2=b^2$ (см. вывод в аналогичной задаче).

Тогда $\operatorname{tg}\angle ABM=\operatorname{tg}\angle MBD=\operatorname{tg}\angle DBC=\dfrac{1}{\sqrt3}$, то есть каждый из трёх углов равен $30^\circ$, а вместе они дают прямой угол $ABC=90^\circ$. Значит, лучи $BM$ и $BD$ делят угол $ABC$ на три равные части. Доказано.

Пункт б. Найдём расстояние от центра до прямой $CM$, если $BC=6\sqrt{21}$.

Из $3a^2=b^2$ при $b=6\sqrt{21}$: $a=\dfrac{b}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt{21}}{\sqrt3}=6\sqrt7$.

Эта задача подобна предыдущей (та же конфигурация), где при $BC=9$ расстояние равно $\dfrac{3\sqrt{21}}{14}$. Расстояние растёт пропорционально $BC$: множитель $\dfrac{6\sqrt{21}}{9}$.

Поэтому искомое расстояние $=\dfrac{3\sqrt{21}}{14}\cdot\dfrac{6\sqrt{21}}{9}=\dfrac{3\cdot 6\cdot 21}{14\cdot 9}=\dfrac{378}{126}=3$.