ID: 00011568
Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 6 \sqrt{21}
Источник: ФИПИ
В прямоугольнике ABCD прямая через B перпендикулярно AC пересекает AD в точке M, равноудалённой от B и D.
Пункт а. Докажем, что лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части.
В координатах A=(0;0), B=(a;0), C=(a;b), D=(0;b) условие MB=MD даёт 3a^2=b^2 (см. вывод в аналогичной задаче).
Тогда \operatorname{tg}\angle ABM=\operatorname{tg}\angle MBD=\operatorname{tg}\angle DBC=\dfrac{1}{\sqrt3}, то есть каждый из трёх углов равен 30^\circ, а вместе они дают прямой угол ABC=90^\circ. Значит, лучи BM и BD делят угол ABC на три равные части. Доказано.
Пункт б. Найдём расстояние от центра до прямой CM, если BC=6\sqrt{21}.
Из 3a^2=b^2 при b=6\sqrt{21}: a=\dfrac{b}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt{21}}{\sqrt3}=6\sqrt7.
Эта задача подобна предыдущей (та же конфигурация), где при BC=9 расстояние равно \dfrac{3\sqrt{21}}{14}. Расстояние растёт пропорционально BC: множитель \dfrac{6\sqrt{21}}{9}.
Поэтому искомое расстояние =\dfrac{3\sqrt{21}}{14}\cdot\dfrac{6\sqrt{21}}{9}=\dfrac{3\cdot 6\cdot 21}{14\cdot 9}=\dfrac{378}{126}=3.
3