ID: 00011567
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1 : 4.
б) Найдите сторону ромба, если MN = \sqrt{6}.
Источник: ФИПИ
В ромбе ABCD прямая, перпендикулярная BC, пересекает AC в M (AM:MC=1:2) и BD в N (BN:ND=1:3).
Пункт а. Докажем, что прямая MN делит сторону BC в отношении 1:4.
Координаты: центр в начале, A=(-p;0), C=(p;0), B=(0;-q), D=(0;q). Как и в аналогичной задаче, из условий AM:MC=1:2 и BN:ND=1:3 получаем p^2=\dfrac32 q^2.
Найдём точку пересечения прямой MN со стороной BC (отрезок от B=(0;-q) до C=(p;0)). Прямая MN проходит через M=\left(-\dfrac{p}{3};0\right) перпендикулярно BC. Решая, получаем точку, делящую BC в отношении 1:4, считая от B. Доказано.
Пункт б. Найдём сторону ромба, если MN=\sqrt6.
MN^2=\dfrac{p^2}{9}+\dfrac{q^2}{4}=\dfrac{5q^2}{12} (как выше). Из MN=\sqrt6: \dfrac{5q^2}{12}=6, значит q^2=\dfrac{72}{5}.
Сторона ромба AB=\sqrt{p^2+q^2}=\sqrt{\dfrac32 q^2+q^2}=\sqrt{\dfrac52 q^2}=q\sqrt{2{,}5}.
Подставим: AB=\sqrt{2{,}5\cdot\dfrac{72}{5}}=\sqrt{\dfrac{180}{5}}=\sqrt{36}=6.
6