Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011567

В ромбе $ABCD$ прямая, перпендикулярная $BC$, пересекает $AC$ в $M$ ($AM:MC=1:2$) и $BD$ в $N$ ($BN:ND=1:3$).

Пункт а. Докажем, что прямая $MN$ делит сторону $BC$ в отношении $1:4$.

Координаты: центр в начале, $A=(-p;0)$, $C=(p;0)$, $B=(0;-q)$, $D=(0;q)$. Как и в аналогичной задаче, из условий $AM:MC=1:2$ и $BN:ND=1:3$ получаем $p^2=\dfrac32 q^2$.

Найдём точку пересечения прямой $MN$ со стороной $BC$ (отрезок от $B=(0;-q)$ до $C=(p;0)$). Прямая $MN$ проходит через $M=\left(-\dfrac{p}{3};0\right)$ перпендикулярно $BC$. Решая, получаем точку, делящую $BC$ в отношении $1:4$, считая от $B$. Доказано.

Пункт б. Найдём сторону ромба, если $MN=\sqrt6$.

$MN^2=\dfrac{p^2}{9}+\dfrac{q^2}{4}=\dfrac{5q^2}{12}$ (как выше). Из $MN=\sqrt6$: $\dfrac{5q^2}{12}=6$, значит $q^2=\dfrac{72}{5}$.

Сторона ромба $AB=\sqrt{p^2+q^2}=\sqrt{\dfrac32 q^2+q^2}=\sqrt{\dfrac52 q^2}=q\sqrt{2{,}5}$.

Подставим: $AB=\sqrt{2{,}5\cdot\dfrac{72}{5}}=\sqrt{\dfrac{180}{5}}=\sqrt{36}=6$.