ID: 00011565
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.
а) Докажите, что AB : BC = AE : EK.
б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если BD : DC = 5 : 2.
Источник: ФИПИ
На BC треугольника ABC отмечена D с AB=BD; биссектриса BF угла B пересекает AD в E; CK\perp AD.
Пункт а. Так как AB=BD, треугольник ABD равнобедренный, и биссектриса BF — его ось симметрии: BE\perp AD, E — середина AD. Тогда BE\parallel CK (оба \perp AD), и из подобия AB:BC=AE:EK. Доказано.
Пункт б. AD на оси: A=(0;0), D=(2;0), E=(1;0), B=(1;h). Из BD:DC=5:2: C=\left(\dfrac{12}{5};-\dfrac{2h}{5}\right), K=\left(\dfrac{12}{5};0\right), F=BF\cap AC=\left(1;-\dfrac h6\right). Площади: S_{ABE}=\dfrac h2, S_{CDEF} по координатам; отношение \dfrac{S_{ABE}}{S_{CDEF}}=\dfrac{30}{19}.
\frac{30}{19}