ID: 00011564
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.
а) Докажите, что AB : BC = AE : EK.
б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если BD : DC = 5 : 2.
Источник: ФИПИ
На $BC$ треугольника $ABC$ отмечена $D$ с $AB=BD$; биссектриса $BF$ угла $B$ пересекает $AD$ в $E$; $CK\perp AD$.
Пункт а. Так как $AB=BD$, треугольник $ABD$ равнобедренный, и биссектриса $BF$ — его ось симметрии: $BE\perp AD$, $E$ — середина $AD$. Тогда $BE\parallel CK$ (оба $\perp AD$), и из подобия $AB:BC=AE:EK$. Доказано.
Пункт б. $AD$ на оси: $A=(0;0)$, $D=(2;0)$, $E=(1;0)$, $B=(1;h)$. Из $BD:DC=5:2$: $C=\left(\dfrac{12}{5};-\dfrac{2h}{5}\right)$, $K=\left(\dfrac{12}{5};0\right)$, $F=BF\cap AC=\left(1;-\dfrac h6\right)$. Площади: $S_{ABE}=\dfrac h2$, $S_{CDEF}$ по координатам; отношение $\dfrac{S_{ABE}}{S_{CDEF}}=\dfrac{30}{19}$.
🔴 По ОК CEO ответ исправлен с $\dfrac14$ на $\dfrac{30}{19}$ (совпадает с двойником 00011565). В условии: «BF треугольника»→«BF треугольника» (убран слипшийся пробел).