Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011564

Задание №18. Планиметрическая задача

Треугольники и их свойства

№2. Задание 18

ID: 00011564

На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK.
а) Докажите, что AB : BC = AE : EK.
б) Найдите отношение площади треугольника ABE к площади четырёхугольника CDEF, если BD : DC = 5 : 2.

Источник: ФИПИ

Решение

На $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отмечена $$D$$ с $$AB=BD$$ ; биссектриса $$BF$$ угла $$B$$ пересекает $$AD$$ в $$E$$ ; $CK\perp AD$ .

Пункт а. Так как $$AB=BD$$ , треугольник $$ABD$$ равнобедренный, и биссектриса $$BF$$ — его ось симметрии: $BE\perp AD$ , $$E$$ — середина $$AD$$ . Тогда $BE\parallel CK$ (оба $\perp AD$ ), и из подобия $$AB:BC=AE:EK$$ . Доказано.

Пункт б. $$AD$$ на оси: $$A=(0;0)$$ , $$D=(2;0)$$ , $$E=(1;0)$$ , $$B=(1;h)$$ . Из $$BD:DC=5:2$$ : $C=\left(\dfrac{12}{5};-\dfrac{2h}{5}\right)$ , $K=\left(\dfrac{12}{5};0\right)$ , $F=BF\cap AC=\left(1;-\dfrac h6\right)$ . Площади: $S_{ABE}=\dfrac h2$ , $S_{CDEF}$ по координатам; отношение $\dfrac{S_{ABE}}{S_{CDEF}}=\dfrac{30}{19}$ .

🔴 По ОК CEO ответ исправлен с $\dfrac14$ на $\dfrac{30}{19}$ (совпадает с двойником 00011565). В условии: «BF треугольника»→«BF треугольника» (убран слипшийся пробел).

Ответ

\dfrac{30}{19}

Другие задания по теме «Треугольники и их свойства» (8)