Задание 13 ЕГЭ по математике №00011562

Пусть бумаги проданы в конце года $t$. Фонд получает $t^2$ тыс. рублей, и до конца 25-го года эти деньги лежат в банке ещё $25-t$ лет, каждый год умножаясь на $q=1+\dfrac{r}{100}$. Итог к концу 25-го года:

$$f(t)=t^2\cdot q^{25-t}.$$

«Строго в конце 21-го года» значит: продажа в этот год даёт больше, чем в любой другой, — в частности, больше, чем в соседние годы $20$ и $22$.

Сравню годы $21$ и $22$. У итогов общий множитель $q^{3}$, он положителен, и на него можно сократить:

$$f(21)\gt f(22)\iff 441q^{4}\gt484q^{3}\iff q\gt\dfrac{484}{441}.$$

Сравню годы $21$ и $20$, сократив на $q^{4}$:

$$f(21)\gt f(20)\iff 441q^{4}\gt400q^{5}\iff q\lt\dfrac{441}{400}.$$

Так как $q=1+\dfrac{r}{100}$, получаю $\dfrac{43}{441}\lt\dfrac{r}{100}\lt\dfrac{41}{400}$, или

$$\dfrac{4300}{441}\lt r\lt\dfrac{4100}{400}.$$

Оценю границы: $\dfrac{4300}{441}=9{,}75\ldots$ (так как $441\cdot9{,}75=4299{,}75$), а $\dfrac{4100}{400}=10{,}25$. Между ними ровно одно целое число — $10$. Значит, $r=10$.

Почему достаточно сравнить только соседние годы. Отношение итогов соседних лет $\dfrac{f(t+1)}{f(t)}=\left(1+\dfrac1t\right)^2\cdot\dfrac1q$ с ростом $t$ уменьшается. Пока оно больше $1$, итог растёт, а как только становится меньше $1$, итог начинает падать и дальше только падает. Поэтому год, который лучше обоих соседних, лучше и всех остальных.

Проверю прямым сравнением при $r=10$, $q=1{,}1$: $441q=485{,}1\gt484=22^2$ — двадцать первый год лучше двадцать второго; $400q=440\lt441=21^2$ — двадцать первый год лучше двадцатого. А при $r=9$: $441\cdot1{,}09=480{,}69\lt484$ — двадцать второй год выгоднее; при $r=11$: $400\cdot1{,}11=444\gt441$ — двадцатый год выгоднее. Оба соседних значения не подходят.