ID: 00011562
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 2 тыс. рублей в конце года t (t = 1, 2, ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1 + раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях это возможно?
Источник: ФИПИ
Стоимость бумаг растёт как $t^2$, а вклад — в $(1+r)$ раз в год. Известно, что выгоднее всего продать строго в конце $m$-го года; нужно найти, при каких $r$ это так.
Итог к концу 25-го года при продаже в конце года $t$ равен $t^2(1+r)^{25-t}$. Год $m=21$ оптимален, когда он не хуже соседних — лучше года $m-1$ и лучше года $m+1$.
Сравнение с годом $m+1$ (продавать раньше выгоднее, чем на год позже) даёт:
$$m^2(1+r)\gt {(m+1)}^2\ \Rightarrow\ 1+r\gt \dfrac{(m+1)^2}{m^2}\ \Rightarrow\ r\gt \dfrac{2m+1}{m^2}=\dfrac{43}{441}.$$
Сравнение с годом $m-1$ (продавать позже выгоднее, чем на год раньше) даёт:
$$(m-1)^2(1+r)\lt m^2\ \Rightarrow\ 1+r\lt \dfrac{m^2}{(m-1)^2}\ \Rightarrow\ r\lt \dfrac{2m-1}{(m-1)^2}=\dfrac{41}{400}.$$
Объединяя оба условия, получаем $r\in\left(\dfrac{43}{441};\ \dfrac{41}{400}\right)$.
Типичная ошибка — взять нестрогие неравенства: слово «строго» означает, что соседние годы дают меньший итог, поэтому интервал открытый.