ID: 00011562
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 2 тыс. рублей в конце года t (t = 1, 2, ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1 + раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях это возможно?
Источник: ФИПИ
Стоимость бумаг растёт как t^2, а вклад — в (1+r) раз в год. Известно, что выгоднее всего продать строго в конце m-го года; нужно найти, при каких r это так.
Итог к концу 25-го года при продаже в конце года t равен t^2(1+r)^{25-t}. Год m=21 оптимален, когда он не хуже соседних — лучше года m-1 и лучше года m+1.
Сравнение с годом m+1 (продавать раньше выгоднее, чем на год позже) даёт:
m^2(1+r)\gt {(m+1)}^2\ \Rightarrow\ 1+r\gt \dfrac{(m+1)^2}{m^2}\ \Rightarrow\ r\gt \dfrac{2m+1}{m^2}=\dfrac{43}{441}.
Сравнение с годом m-1 (продавать позже выгоднее, чем на год раньше) даёт:
(m-1)^2(1+r)\lt m^2\ \Rightarrow\ 1+r\lt \dfrac{m^2}{(m-1)^2}\ \Rightarrow\ r\lt \dfrac{2m-1}{(m-1)^2}=\dfrac{41}{400}.
Объединяя оба условия, получаем r\in\left(\dfrac{43}{441};\ \dfrac{41}{400}\right).
Типичная ошибка — взять нестрогие неравенства: слово «строго» означает, что соседние годы дают меньший итог, поэтому интервал открытый.