ID: 00009138
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить, в кино, в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $\dfrac{3}{8}$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $\dfrac{7}{17}$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе $13$ мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было $24$ учащихся?
б) Какое наибольшее число мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было $24$ учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а, б?
Источник: ФИПИ
Что дано: каждый ученик сходил в театр и/или в кино. В театре мальчиков не больше $\dfrac38$ от числа театралов $T$, в кино мальчиков не больше $\dfrac7{17}$ от числа киношников $K$. Отсюда мальчиков всего не больше $\dfrac38T+\dfrac7{17}K$ (каждого мальчика считаем там, где он даёт ограничение).
Чтобы дроби давали круглые ограничения, удобно брать $T$ кратным $8$ и $K$ кратным $17$.
Пункт а). Могло ли быть $13$ мальчиков при $24$ учениках? Возьмём театр $T=16$ (мальчиков не больше $\dfrac38\cdot 16=6$) и кино $K=18$ (мальчиков не больше $\dfrac7{17}\cdot 18\lt 8$, то есть $\leqslant 7$). Берём $6$ мальчиков в театре и $7$ в кино — это $13$ мальчиков, остальные $11$ человек девочки. Значит — да.
Пункт б). Какое наибольшее число мальчиков при $24$ учениках? Мальчиков не больше $\dfrac38T+\dfrac7{17}K$. Перебирая допустимые $T$ и $K$ (помня, что некоторые ходили и туда, и туда, поэтому $T+K\geqslant 24$), получаем максимум $13$ — например, при $T=16$, $K=17$ и десяти учениках, побывавших в обоих местах. Наибольшее число мальчиков — 13.
Пункт в). Теперь без условия про $24$ ученика; ищем наименьшую долю девочек, то есть наибольшую долю мальчиков. Возьмём $10$ учеников, побывавших и в театре, и в кино, ещё $6$ только в театре и $7$ только в кино — всего $23$ ученика. Тогда $T=16$, $K=17$.
Сделаем мальчиками $6$ «только театр» (это ровно $\dfrac38\cdot 16$) и $7$ «только кино» (ровно $\dfrac7{17}\cdot 17$) — итого $13$ мальчиков; остальные $10$ (все «двойные») — девочки. Условия выполнены, доля девочек $\dfrac{10}{23}$. Меньше нельзя: оценка $\dfrac38T+\dfrac7{17}K$ не даёт доле мальчиков превысить $\dfrac{13}{23}$. Наименьшая доля девочек — $\dfrac{10}{23}$.
а) да
б) $13$
в) $\dfrac{10}{23}$