ID: 00009138
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить, в кино, в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \dfrac{3}{8} от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \dfrac{7}{17} от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
б) Какое наибольшее число мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а, б?
Источник: ФИПИ
Что дано: каждый ученик сходил в театр и/или в кино. В театре мальчиков не больше \dfrac38 от числа театралов T, в кино мальчиков не больше \dfrac7{17} от числа киношников K. Отсюда мальчиков всего не больше \dfrac38T+\dfrac7{17}K (каждого мальчика считаем там, где он даёт ограничение).
Чтобы дроби давали круглые ограничения, удобно брать T кратным 8 и K кратным 17.
Пункт а). Могло ли быть 13 мальчиков при 24 учениках? Возьмём театр T=16 (мальчиков не больше \dfrac38\cdot 16=6) и кино K=18 (мальчиков не больше \dfrac7{17}\cdot 18\lt 8, то есть \leqslant 7). Берём 6 мальчиков в театре и 7 в кино — это 13 мальчиков, остальные 11 человек девочки. Значит — да.
Пункт б). Какое наибольшее число мальчиков при 24 учениках? Мальчиков не больше \dfrac38T+\dfrac7{17}K. Перебирая допустимые T и K (помня, что некоторые ходили и туда, и туда, поэтому T+K\geqslant 24), получаем максимум 13 — например, при T=16, K=17 и десяти учениках, побывавших в обоих местах. Наибольшее число мальчиков — 13.
Пункт в). Теперь без условия про 24 ученика; ищем наименьшую долю девочек, то есть наибольшую долю мальчиков. Возьмём 10 учеников, побывавших и в театре, и в кино, ещё 6 только в театре и 7 только в кино — всего 23 ученика. Тогда T=16, K=17.
Сделаем мальчиками 6 «только театр» (это ровно \dfrac38\cdot 16) и 7 «только кино» (ровно \dfrac7{17}\cdot 17) — итого 13 мальчиков; остальные 10 (все «двойные») — девочки. Условия выполнены, доля девочек \dfrac{10}{23}. Меньше нельзя: оценка \dfrac38T+\dfrac7{17}K не даёт доле мальчиков превысить \dfrac{13}{23}. Наименьшая доля девочек — \dfrac{10}{23}.
а) да
б) 13
в) \dfrac{10}{23}