ID: 00009133
В июле $2026$ года планируется взять кредит на три года в размере $800$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на $10$ % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в $2027$, $2028$ годах должны быть равными;
— к июлю $2029$ года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в $2029$ году составит $602,8$ тыс. рублей. Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
Источник: ФИПИ
Кредит на три года. В первые два года (2027 и 2028) платежи равны между собой, а в 2029-м последним платежом гасится весь остаток.
Каждый январь долг растёт на 10 %, то есть умножается на $q=1{,}1$. Обозначим долг на июль 2026 года (это и есть сумма кредита) через $S$, а равный платёж 2027 и 2028 годов — через $P$.
Последовательно записываем остаток долга после каждого года:
$$\text{2027:}\ qS-P;\quad \text{2028:}\ q(qS-P)-P;\quad \text{2029 (платёж):}\ q\bigl(q(qS-P)-P\bigr).$$
Платёж 2029 года равен 602,8 тыс. руб. — это и есть последнее выражение. Из него находим равный платёж $P=200$ тыс. руб., а затем складываем все три выплаты: $2P+602{,}8=1 002{,}8$ тыс. руб.
Итак, сумма всех выплат равна 1 002,8 тыс. руб. Типичная ошибка — взять платежи всех трёх лет равными: равны только платежи 2027 и 2028 годов, а платёж 2029 года вычисляется отдельно.
$1002,8$ тыс. рублей