Дробное неравенство относительно u=\log_3 x; знаменатель второй дроби красиво сворачивается в полный квадрат.

Область определения: x\gt 0. Заметим, что \log_3(27x^{6})=3+6u, поэтому \log_3^{2}x-\log_3(27x^{6})+12=u^{2}-6u+9=(u-3)^{2}.

Сделаем замену v=u-3. Неравенство принимает вид:

1+\dfrac{6}{v}+\dfrac{5}{v^{2}}\geqslant 0,\qquad \dfrac{v^{2}+6v+5}{v^{2}}\geqslant 0,\qquad \dfrac{(v+1)(v+5)}{v^{2}}\geqslant 0.

Так как v^{2}\gt 0, знак определяет (v+1)(v+5)\geqslant 0, откуда v\leqslant -5 или v\geqslant -1 (и v\ne 0).

Возвращаемся: v=\log_3 x-3. Из v\leqslant -5 получаем \log_3 x\leqslant -2, то есть 0\lt x\leqslant\dfrac19. Из v\geqslant -1 получаем \log_3 x\geqslant 2, то есть x\geqslant 9; условие v\ne 0 убирает x=27.