ID: 00009130
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B, а на окружности другого основания — точки B_1, C_1, причём BB_1 — образующая цилиндра, а отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC_1 прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB = 15, BB_1 = 14, B_1C_1 = 20.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Так как отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра, его проекция на нижнее основание — отрезок AC — проходит через центр основания, то есть AC является диаметром нижней окружности.
Точка B лежит на той же окружности, а AC — её диаметр. Вписанный угол ABC, опирающийся на диаметр, прямой: \angle ABC=90^\circ, поэтому BA\perp BC.
Образующая CC_1 перпендикулярна плоскости основания, значит CC_1\perp BA (прямая основания). Тогда BA перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и CC_1 плоскости BCC_1, поэтому BA\perp BC_1.
Следовательно, угол ABC_1 прямой, что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Высота цилиндра равна образующей BB_1=14. В прямоугольном треугольнике ABC катеты AB=15 и BC=B_1C_1=20 (равны как хорды, стянутые образующими), гипотенуза — диаметр AC=2R.
По теореме Пифагора AC=\sqrt{AB^2+B_1C_1^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25, поэтому радиус R=\dfrac{AC}{2}=12.5.
Площадь боковой поверхности: S_{бок}=2\pi R\cdot h=\pi\cdot AC\cdot h=\pi\cdot25\cdot14=350\pi.
Ответ: 350\pi.
350\pi