ID: 00009130
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$, $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB = 15, BB_1 = 14, B_1C_1 = 20$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Так как отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра, его проекция на нижнее основание — отрезок $AC$ — проходит через центр основания, то есть $AC$ является диаметром нижней окружности.
Точка $B$ лежит на той же окружности, а $AC$ — её диаметр. Вписанный угол $ABC$, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle ABC=90^\circ$, поэтому $BA\perp BC$.
Образующая $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания, значит $CC_1\perp BA$ (прямая основания). Тогда $BA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$ плоскости $BCC_1$, поэтому $BA\perp BC_1$.
Следовательно, угол $ABC_1$ прямой, что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Высота цилиндра равна образующей $BB_1=14$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AB=15$ и $BC=B_1C_1=20$ (равны как хорды, стянутые образующими), гипотенуза — диаметр $AC=2R$.
По теореме Пифагора $AC=\sqrt{AB^2+B_1C_1^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25$, поэтому радиус $R=\dfrac{AC}{2}=12.5$.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок}=2\pi R\cdot h=\pi\cdot AC\cdot h=\pi\cdot25\cdot14=350\pi$.
$350\pi$