ID: 00009098
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10 \%$ по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на $3$, $\text{млн рублей}$. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше $20$, $\text{млн рублей}$.
Источник: ФИПИ
Это задача на вклад со сложными процентами и двумя пополнениями. Нужно наименьшее целое число миллионов, при котором итог через четыре года превысит заданную сумму.
Пусть первоначальный вклад $S$ млн руб. Каждый год сумма растёт на 10 % ($\times 1{,}1$). Дополнительно в начале 3-го и 4-го годов вклад пополняется на 3 млн руб.
Проследим за вкладом по годам и к концу 4-го года получим:
$$\text{итог}=1{,}4641\,S+3\cdot1{,}1^2+3\cdot1{,}1=1{,}4641\,S+6{,}93.$$
Условие «итог больше 20 млн руб.» даёт $1{,}4641\,S+6{,}93\gt 20$, то есть $S\gt 8{,}927$.
Наименьшее целое число миллионов, удовлетворяющее этому, равно $S=9$.
Значит, наименьший первоначальный вклад — 9 млн рублей. Типичная ошибка — начислить проценты на пополнения за «лишние» годы: пополнение 4-го года успевает вырасти лишь один раз.
$9\,000\,000$, $\text{рублей}$.