Это уравнение похоже на предыдущие, но коварнее: множители стоят в ЗНАМЕНАТЕЛЯХ. Цель прежняя — ровно один корень на [0;1].

Сначала ОДЗ, и оно строже обычного. Знаменатели должны существовать (логарифмы определены) И не равняться нулю (на ноль делить нельзя): 4x-a\gt 0,\ 5x+a\gt 0, и при этом 4x-a\ne1,\ 5x+a\ne1.

Перенесём всё влево; числитель распадается на множитель 2x-1 и разность дробей.

(2x-1)\left(\dfrac{1}{\ln(4x-a)}-\dfrac{1}{\ln(5x+a)}\right)=0.

Первый корень: 2x-1=0, то есть x=\dfrac12. Проверяем ОДЗ: 2-a и \dfrac52+a положительны и не равны 1. Это даёт a\lt 2, причём a\ne1 и a\ne-\dfrac32 (в этих точках логарифм-знаменатель равен нулю и x=\dfrac12 корнем НЕ является).

Второй корень — когда равны логарифмы: 4x-a=5x+a, откуда x=-2a. Он на отрезке при -\dfrac12\le a\le 0 и в ОДЗ при a\lt 0, a\ne-\dfrac19.

Ключевое отличие от «корневого» двойника 00004470: там стоял \sqrt{2x-1}, который требовал x\ge\dfrac12 и отрезал левую половину отрезка. Здесь такого корня нет, поэтому подвижный корень x=-2a свободно попадает и в левую половину [0;1] — и при a\in\left(-\dfrac14;0\right) на отрезке оказываются СРАЗУ ДВА корня. Поэтому готовый ответ соседа сюда не подходит.

Проходим ось параметра: на \left(-\dfrac52;-\dfrac12\right) корень один (только x=\dfrac12), но из него выколоты точки a=-\dfrac32 и a=1, где x=\dfrac12 перестаёт быть корнем; в зоне \left(-\dfrac14;0\right) корней два (кроме слияния при a=-\dfrac14 и точки a=-\dfrac19, где второй корень выпадает); на [0;1)\cup(1;2) снова один.

Собирая всё аккуратно, получаем ответ \left(-\dfrac52;-\dfrac32\right)\cup\left(-\dfrac32;-\dfrac12\right)\cup\left\{-\dfrac14\right\}\cup\left\{-\dfrac19\right\}\cup[0;1)\cup(1;2).