Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00009093

Это уравнение похоже на предыдущие, но коварнее: множители стоят в ЗНАМЕНАТЕЛЯХ. Цель прежняя — ровно один корень на $[0;1]$.

Сначала ОДЗ, и оно строже обычного. Знаменатели должны существовать (логарифмы определены) И не равняться нулю (на ноль делить нельзя): $4x-a\gt 0,\ 5x+a\gt 0$, и при этом $4x-a\ne1,\ 5x+a\ne1$.

Перенесём всё влево; числитель распадается на множитель $2x-1$ и разность дробей.

$$(2x-1)\left(\dfrac{1}{\ln(4x-a)}-\dfrac{1}{\ln(5x+a)}\right)=0.$$

Первый корень: $2x-1=0$, то есть $x=\dfrac12$. Проверяем ОДЗ: $2-a$ и $\dfrac52+a$ положительны и не равны $1$. Это даёт $a\lt 2$, причём $a\ne1$ и $a\ne-\dfrac32$ (в этих точках логарифм-знаменатель равен нулю и $x=\dfrac12$ корнем НЕ является).

Второй корень — когда равны логарифмы: $4x-a=5x+a$, откуда $x=-2a$. Он на отрезке при $-\dfrac12\le a\le 0$ и в ОДЗ при $a\lt 0$, $a\ne-\dfrac19$.

Ключевое отличие от «корневого» двойника 00004470: там стоял $\sqrt{2x-1}$, который требовал $x\ge\dfrac12$ и отрезал левую половину отрезка. Здесь такого корня нет, поэтому подвижный корень $x=-2a$ свободно попадает и в левую половину $[0;1]$ — и при $a\in\left(-\dfrac14;0\right)$ на отрезке оказываются СРАЗУ ДВА корня. Поэтому готовый ответ соседа сюда не подходит.

Проходим ось параметра: на $\left(-\dfrac52;-\dfrac12\right)$ корень один (только $x=\dfrac12$), но из него выколоты точки $a=-\dfrac32$ и $a=1$, где $x=\dfrac12$ перестаёт быть корнем; в зоне $\left(-\dfrac14;0\right)$ корней два (кроме слияния при $a=-\dfrac14$ и точки $a=-\dfrac19$, где второй корень выпадает); на $[0;1)\cup(1;2)$ снова один.

Собирая всё аккуратно, получаем ответ $\left(-\dfrac52;-\dfrac32\right)\cup\left(-\dfrac32;-\dfrac12\right)\cup\left\{-\dfrac14\right\}\cup\left\{-\dfrac19\right\}\cup[0;1)\cup(1;2)$.